资源简介

4.3 函数的单调性与极值
教学目标：
掌握函数极值的求解方法；
教学重点：
函数极值的判定；
教学难点：
函数极值的判定.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
新知识定义　设函数在区间内有定义，是内一点．如果对附近所有有定义的点都有（或），就称是函数的一个极大值（或极小值）.注意1.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 2.函数的极值是局部性概念．如果是函数的一个极大值，只意味在的一个邻域内是一个最大值，而对于的整个定义域来说 不一定是最大的，甚至比极小值还小.如图4—7所示是函数的一个极大值，而是函数的一个极小值，但显然小于． 函数的极值点实质上就是函数升降的分界点，因此有：定理4.5 (极值的必要条件) 若函数在点x0 处取得极值 则或不存在．注意：驻点和不可导点都有可能是函数的极值点．定理4.6(极值存在的第一充分条件) 设函数在点x0及其附近连续且可导（在x0处可以不可导），且在x0的两边导数值异号，则在点x0必取得极值．具体表述如下：(1)若f (x)由正变负 则是函数的极大值 (2)若f (x)由负变正 则是函数的极小值 (3)如果在x0的左、右两侧符号相同则不是极值．求函数极值的解题步骤：1.求定义域;2.求导数、驻点、不可导点;3.列表判定. 教师讲授20′
知识巩固例 求的极值.解 f (x)的定义域为 ( ) ,， 令得驻点为；显然无不可导点；列表得：-11+0-0+↗极大值4↘极小值0↗故函数的极大值为，极小值为. 教师讲授30′
练习 求的极值.解 ,，令得驻点为；显然为不可导点.2--0+↘↘极小值12↗故函数的极小值为.无极大值. 学生完成40′
例 求函数的极值 解 （1） f (x)的定义域为 ( ) ;（2） f ' (x) =2xex += x e x (2+x);（3） 令f (x)0 得驻点x1 2, x2 0，无不可导点; （4） 用驻点x12, x10 分f(x)的定义域( )，列表如下：x( 2)2(2 0)0(0 )f (x)00 f (x)↗极大值↘极小值0↗ 函数的极大值为f (2) 极小值为 教师讲授50′
新知识定理4.7（极值存在的第二充分条件） 设函数在点x0处具有二阶导数,且f (x0)0，,(1) 若，则f (x0)是函数的极大值 (2) 若，则f (x0)是函数的极小值 定理表明，在函数的驻点x0处如果二阶导数，则该驻点一定是极值点，且可根据的符号判定是极大值还是极小值 注意以下三种情况下不能使用第二判别法，必须使用第一判别法进行判别：（1）不存在；（2）；（3）不存在. 教师讲授55′
知识巩固例 求函数的极值.解 函数的定义域为，，,令得驻点，又,故由极值存在的第二充分条件，是函数的极小值点，的极小值为. 教师讲授65′
练习 求函数的极值.解 函数的定义域为，，令得驻点为或；由于，,故函数的极大值为，极小值为. 学生完成75′
例 设方程恰有两个实根，求的取值．分析 当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根.解 令 ，，,由于,,故函数在处取得极大值,在处取得极小值.当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根，故或.从而或． 教师引领学生完成85′
小结 教师总结90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.
x0
x
y
O
图4—6
f(x0)
x0
x
y
O
图 4—5
f(x0)
f(x1)（
x
b
x6
x5
x4
x3
x2
x1
O
a
f(x4)（
y
图 —7
极值存在的第一充分条件
极值
函数的单调性与极值
极值存在的第二充分条件

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