资源简介

4.3 函数的单调性与极值
教学目标：
掌握函数最值的求解方法；
教学重点：
函数最值的判定；
教学难点：
实际生活中函数最值的判定.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
新知识我们知道，闭区间[a b]上的连续函数f (x)一定存在最大值和最小值．最大值和最小值可能在区间内取得，也可能在区间的端点取得.如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间(a b)内取得.在这种情况下 最大值一定是函数的某个极大值.从而, 函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数在(a b)上的所有极大值和区间端点处的函数值f (a)和f (b)中最大者．最小值同理.函数在闭区间[a b]上的最小值一定是函数在(a b)上的所有极小值、f (a)和f (b)中最小者． 因此, 要求一个函数f (x) 在闭区间[a b]上的最值可以按如下方法进行 （1）求出函数f (x)在(a b)内的所有可能的极值点 (即驻点和不可导点):x1 x2xn（2）求出这些驻点和不可导点以及闭区间[a b]端点处的函数值: f (x 1) f (x 2) f (x n) f (a) f (b) ;（3）比较f (a)f (x 1) f (x 2) f (x n) f (b)的大小 其中最大者就是f (x)在闭区间[a b]上的最大值 最小者是f (x)在[a b]上的最小值． 求函数最值的解题步骤:1.求;2.求驻点、不可导点、端点处的函数值;3.比较大小. 教师讲授20′
知识巩固例 求在上的最大值和最小值.解 ,令得驻点为,由,故函数的最大值最小值. 教师讲授20′
练习 求函数在上的最值.解 , 令得驻点为,，，，，故函数的最大值为，最小值为. 学生完成30′
注意若函数f (x) 在[a b]上连续且单调增加, 则f (a) 是最小值, f (b) 是最大值; 若f (x) 在[a b]上连续且单调减少, 则f (a)是最大值, f (b)是最小值． 教师讲授35′
知识巩固例 求函数f (x)=arctanx在[0 , 1]上的最值．解 因为>0, x( ),所以函数f (x)在[0 , 1]上单调递增．故函数f (x)的最小值为f (0)= 0, 最大值为f (1)=． 在有些实际问题中 我们根据其实际意义就可以断定函数确有最大值或最小值 而且一定在其定义区间内取得．此时如果在定义区间内只有唯一驻点 那么就不必讨论是否是极值 而直接判定是最大值或最小值.知识巩固例 欲用铁皮制作一个体积为V的圆柱形有盖铁桶, 应如何设计其底面半径和高才能使用料最省 解 用料最省也就是使铁桶的表面积最小．设铁桶底面半径为r, 高为h, 表面积为S．则因为,所以将 代入上式，得 ，显然0 < r < V．这样问题就转化为求目标函数在( 0 , V )上的最小值． 求S对r的导数: ,令S 0得唯一驻点 ．由问题的实际意义知，S在( 0 , V )内必有最小值, 故最小值必在该唯一驻点 处取得． 将代入中，得． 即当高h是底面半径r的两倍且时，用料最省．例 某工厂与铁路的垂直距离，到城的距离为100km，欲将工厂的产品运到城，已知公路运费为10元，铁路运费为8元，想在铁路处修建一个转运站，问建在何处，才能使运费最少？最少运费是多少？解 令，则，，设总运费是元，依题意得 问题就归结为求函数在上的最小值点．,令，解得（负值舍去），在区间内，只有一个驻点，也就是所求的最小值点．因此，当时，才能使总运费最小．这时总运费为(元). 教师讲授55′教师讲授85′
小结 教师总结90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.
O
x
1
y
图4—8

最值
函数的单调性与极值

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