资源简介

3.4 微分
教学目标：
（1）理解微分的概念；
（2）掌握微分求导法则；
（3）掌握微分在近似计算中的应用；
教学重点：
（1）微分的概念；
（2）微分在近似计算中的应用.
教学难点：
微分在近似计算中的应用.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
观察微分的概念先看一个具体例子．由某种材料构成的边长为的正方形，由于热胀冷缩，边长从增加到时，那么其面积的增量为　　　　　　　　图3－２包含两部分，和，由于是比高阶的无穷小，可忽略不计．这样当很小时，，它是函数该变量的主要部分． 一般，设函数在处可导，则存在，那么 　　　　 ，为时的无穷小 　　得　由于是的高阶无穷小，可忽略不计，故得，是函数该变量的主要部分．由此可得： 新知识导入5′
新知识定义3.2 设函数在点处可导,则称函数改变量的主要部分为函数在点处的微分,记作,即．此时也称函数在点处可微分，简称可微．如果函数在任意点都可微分，则在任意点的微分为,特别地，函数的微分为．因此，函数的微分还可写为 . 教师讲授10′
知识巩固例 求函数在处，当时的微分．解 ，.例　 ，求解：例 已知 ，求.解 方程两边对求导，，解得 ，则 . 教师引领完成20′
新知识微分运算法则由于函数微分，故微分的运算法则和求导运算法则是一致的.1．微分的四则运算(1) 　(2) (3) （C为常数）　　 (4) 2．复合函数的微分法则如果函数与都可导，则复合函数可微，而且.由于，因此 ．即对于函数，无论是自变量还是中间变量，微分形式都是,保持不变. 教师讲授25′
知识巩固例 求下列函数的微分：（1）;（2）.解 （1）, 故 . （2）,故 . 教师引领完成30′
练习 求下列函数的微分：（1）; （2）.解（1）, 故 . （2）,故 .练习 ，求.解： 学生完成40′
例 ，求解：例 ，求.解 两边微分,得　即 解得　.本题也可在方程两边求导，得出，因而． 教师讲授50′
新知识微分在近似计算中的应用如果函数在可导,且,则当很小时，有 . 因此 ,或 ,也可写为 . 教师讲授55′
知识巩固例 计算的近似值.解 由于（弧度）,即：. 设，则. 教师引领学生完成60′
练习 试计算的近似值.解 （弧度），即：假设，. 学生完成70′
当很小时， 取，有 　当很小时，有下列近似公式：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) . 教师讲授80′
例 计算的近似值.解 . 教师讲授85′
小结 教师总结90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题三对应内容.
微分法则
微分
可导
微分在近似计算中的应用

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