资源简介

4.3 函数的单调性与极值
教学目标：
(1)理解驻点与不可导点;
(2)掌握函数单调性的判断方法；
教学重点：
函数单调性的判断；
教学难点：
函数单调性判定定理证明不等式.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
观察如果函数在上单调增加 其图像是一条沿轴正向上升的曲线, 曲线在各点处的切线斜率是非负的（如图4—3）；如果函数在上单调减少 其图像是一条沿轴正向下降的曲线, 曲线在各点处的切线斜率是非正的（如图4—4）．由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系．我们很自然地就想到，是否可以用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面的定理给出了肯定的回答. 新知识导入5′
新知识定理 设函数在上连续 在内可导． (1) 若在内 则函数在上单调增加 (2) 若在内 则函数在上单调减少．注意1.使函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点.驻点一般表示为.2.过驻点处的切线平行于轴. 教师讲授15′
知识巩固例 求函数的驻点.解 令，得驻点为. 教师讲授20′
练习 求 的驻点.解 , 令，得驻点为.练习 求 的驻点和不可导点.解 ,，显然驻点为，不可导点为. 学生完成30′
例 讨论的单调性．解 该函数的定义域为（，，令，解得，列表讨论如下＋－＋↗↘↗由表可知，函数在和上单调增加，在上单调减少．例　确定函数的单调区间.解 该函数的定义域为，， 教师讲授50′
知识巩固－＋↘↗易见,当时，函数的导数不存在，在内，函数的导数没有等于零的点．列表讨论如下 由表可知，函数在上单调减少；在上单调增加．
练习 求的单调区间.解 ,，,令得驻点；显然不可导点为，列表得：++↗↘↗故函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 学生完成55′
知识巩固利用函数的单调性，还可以证明一些不等式 例 证明当时,证明： 令则在内,因此函数在上单调增加，从而当时,，也就是　即. 教师讲授65′
练习 试证时，.解 令，因为，当时，，故在上单调递减.所以当时，，即.练习 试比较与的大小关系（）.解 假设，令，，要证，只要证当时，单调递增即可；又（），故（）. 学生完成85′
小结 教师总结90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题四对应内容.
y
x
O
x1
x2
图 4—3
y
x
O
x1
x2
图4—4
判断单调性
函数的单调性与极值
单调性
证明不等式

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