资源简介

7.1 多元函数及其偏导数
教学目标：
（1）理解多元函数及其偏导数的概念；
（2）熟练掌握偏导数的计算方法；
（3）熟练掌握全微分的计算方法，理解全微分的意义.
教学难点：
（1）掌握全微分的计算方法.
授课时数： 4课时
教学过程
过程 备注
7.1.1多元函数的概念观察我们前面介绍的大部分的函数都是一元函数，也就是因变量的变化只与一个变量有关，但是在很多实际的应用中，因变量会受到多种因素的影响，这就需要我们引入多元函数的概念进行研究.在很多实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，例如：例1 圆柱体的体积与它的底面半径、高之间具有关系.当、取定一对值时，的值就随之确定.例2 某厂生产A产品吨、B产品吨的总成本(元).当、取定一对值时，总成本的值就随之确定.上述两个例子的实际意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽出这些共性便可得出以下二元函数的定义. 教师讲解引导学生思考8′
新知识定义7.1 设是平面上的一个点集.如果对于每一个点，变量按照一定的对应法则总有唯一确定的值与之对应，则称是变量的二元函数，记为.其中和称为自变量，称为因变量或函数，点集称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域.注意1.二元及二元以上函数统称为多元函数；2.二元函数的几何图形为空间中的一张曲面，该曲面在坐标面上的投影即为二元函数定义域的几何图形：平面上的某一区域. 教师讲授15′
知识巩固例 函数的定义域为,这是一个无界开区域.例 函数的定义域为,这是一个有界闭区域. 教师结合图形引导完成25′
练习练习 求函数的定义域并画出定义域的图形.解 函数的定义域为. 学生课堂完成教师讲解35′
7.1.2 二元函数的偏导数观察在一元函数中，我们知道导数是其图像在某一点的斜率，在二元函数中也有类似的概念，二元函数的图像沿任何一个方向都有其斜率，但是为了研究方便，我们只考虑其沿着轴和轴两个方向的斜率，也就是沿着轴和轴两个方向的导数，即偏导数. 教师讲解引导学生思考40′
新知识定义7．2 设函数在点及其附近有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为，，或.类似地，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为，，或.如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导函数，记作，，或.同理可以定义函数对自变量的偏导函数，记作，，或.以后在不至于引起混淆的情况下把偏导函数也简称偏导数.偏导数的概念可以推广到三元及三元以上函数. 教师结合课件讲解50′
7.1.3 偏导数的计算观察在了解了偏导数的定义之后，我们发现，二元函数的偏导数和一元函数的导数的定义有类似的形式，我们可以由此推断，二元函数的偏导数和一元函数的导数应当也有类似的计算方法，接下来就将介绍二元函数偏导数的计算方法. 教师讲解55′
新知识求多元函数的偏导数方法与求一元函数导数方法是一样的．对其中一个变量求导，只要把其余变量看成常数即可． 教师讲解60′
知识巩固例 求的一阶偏导数.解 对求偏导数，把看作常数，得，对求偏导数，把看作常数，得. 教师讲授70′
练习练习 求的一阶偏导数解 对求偏导数，把看作常数，得；对求偏导数，把看作常数，得 学生课堂完成教师讲解75′
例 求在点处的偏导数解 ，，故 . 教师讲授85′
练习 设.求，解 ； 学生课堂完成教师讲解95′
例　设 ，证明：证：因为 ，所以 例 已知是由方程所决定的隐函数，求.解 方程两边对求导，把看成常数，把看成的函数，得　即 解得　 . 教师讲授115′
7.1.4 二阶偏导数观察前面一节我们讲了二元函数的偏导数的计算方法，我们知道，计算出来的偏导数也是一个函数，那么我们可以在这个偏导数的基础上再次求偏导数，就得到了二阶的偏导数，这个和在导函数的基础上求导得到高阶导函数的概念类似. 教师讲解引导学生思考120′
新知识二阶偏导数，依次记为，，，；其中，称为函数的二阶纯偏导数;，称为二阶混合偏导数. 教师讲解125′
知识巩固例 设，求，，，解 由于 ，，得，，，注意如果函数的两个混合偏导数在点，处连续，则有. 教师讲授并总结130′
练习求的二阶偏导数解 ，，. 学生课堂完成教师讲解140′
7.1.5 全微分观察和偏导数类似，二元函数微分的概念相较于一元函数微分的概念也是多了一个“偏”，成为偏微分，我们也可以按照微分的概念理解偏微分，这一点与导数类似，全微分就是将两个偏微分加在一起. 教师讲解引导学生思考145′
新知识称为关于的偏增量，为关于的偏增量.对于函数，在点处的全增量为.可以证明，如果函数在点的偏导数、存在且连续，则，它是函数全增量的主要部分,称为函数在点处的全微分.一个函数在点处的全微分存在，就说它在该点可微．对于自变量、，有、．因此，函数的全微分可写成 . 教师结合课件讲解150′
知识巩固例 求时的全增量与全微分.解 全增量，，故全微分例 计算函数的全微分解 因为，，所以例 求函数在点处的全微分解 因为，，所以，因此. 教师引导完成165′
练习练习 求在处当时的全增量与全微分.解 全增量，，故全微分练习 求的全微分解 ，， 故其全微分 学生课堂完成教师讲解175′
小结 教师总结180′
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题七对应内容.

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