资源简介

6.1 定积分的概念与性质
教学目标：
（1）理解定积分的几何意义；
（2）理解定积分的定义；
（3）掌握定积分的性质.
教学难点：
（1）熟练使用各种积分公式.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
6.1.1定积分的概念观察前面一章我们学习的是不定积分的求解方法，不定积分的求解就是求解原函数，根据我们即将讲到的牛顿莱布尼兹公式，我们通过求解不定积分就可以很好的求解定积分.在现实生活中，定积分的应用非常广泛，可以说我们中学学习到的一切的物理量都可以用定积分的方法计算出来，中学学习到的大部分公式也可以由定积分推导出来，比如加速度，速度，路程，通量等等.接下来我们将介绍一个简单的定积分的应用：曲边梯形的面积，作为切入点，来帮助大家理解定积分. 教师讲解引导学生思考5′
新知识设在上非负连续，由直线，，及曲线所围成的图形，称为曲边梯形. 为了求曲边梯形的面积，我们在区间中任意插入若干个分点，把分成个小区间，，…，，…,,它们的长度依次为.经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，在每个小区间[]上任取一点，以[]为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（），把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值，即=.设时，可得曲边梯形的面积. 教师结合课件图形介绍20′
6.1.2定积分的定义观察上述问题可以归结为求具有某一种结构的和式极限，即面积，很多实际问题都具有这样类似的数学模型，把它们进行抽象，便得到定积分的概念． 教师讲解引导学生思考25′
新知识定义6.1 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 .把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为.在每个小区间[]上任取一点),作和.记，如果当时，和式S有极限,且此极限值不依赖于区间的分法和点的取法,则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分), 记作,即=,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,称为积分区间.简单的说，称为函数在区间上的定积分，记作,即=.注意时， ； 时， 定积分是一个确定的常数.注意定积分在几何上表示曲线在轴上方部分和轴下方部分面积的代数和.（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号） 教师结合课件讲解40′
6.1.3定积分的性质观察根据前面我们学习不定积分的经验，我们知道，定积分也可能会存在一些性质，根据这些性质我们可以简化定积分的运算.我们还会想到，定积分的性质和不定积分的性质是否类似呢？接下来我们将介绍定积分的一些性质. 教师讲解引导学生思考45′
新知识性质1 代数和的定积分等于定积分的代数和，即.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数).性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 ，则.无论的相对位置如何，总有上述等式成立.性质4 如果在区间上，，则.性质5 如果在区间上，,则 .性质6 设与分别是函数在上的最大值及最小值，则 .性质7（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得 （）.定积分中值定理的几何意义是：对于以为底边，曲线()为曲边的曲边梯形，至少有一个以为高，为底的矩形，使得它们的面积相等． 教师结合课件及图形讲解65′
知识巩固例 估计定积分的值.　　　　　　　　　解 先求在上的最大值和最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，令得驻点，比较在驻点及区间端点处的函数值，，，故最大值，最小值.由性质6得，. 教师引导完成75′
练习例 比较下列各对积分值的大小.(1)与; (2) 与.解 (1) 根据幂函数的性质,在上有,所以.(2) 根据指数函数的性质,在上有,所以. 学生课堂完成教师讲解88′
小结 教师总结90′
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题六对应内容.

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