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7.2 二元函数的极值
教学目标：
（1）熟练掌握无条件极值的求解方法；
（2）掌握二元函数极值存在性的判别；
（3）掌握会条件极值的求解方法.
教学难点：
（1）二元函数极值存在性的判别；
（2）拉格朗日乘数法的使用.
授课时数： 3课时.
教学过程
过程 备注
7.2.1二元函数极值的概念观察回顾前面一元函数导数的部分，我们在学习了导数之后，其最常见的一个应用就是用于求一元函数的极值和最值，同样地，在学习了二元函数的导数之后，我们也可以将其用于求解二元函数的极值和最值，不过二元函数的导数是两个偏导数，因此相较于一元函数的处理方法更加复杂一些. 教师讲解引导学生思考5′
新知识定义7 设函数在点及其附近有定义，对于异于的点，若满足不等式，则称函数在取得极大值，是其极大值点；若满足不等式，则称函数在取得极小值，是其极小值点.例如，函数在点取得极小值0，是其极小值点.这种函数的极值，其中的自变量除了限制在定义域内取值外，并无其他条件限制，这种极值称为无条件极值.例如：椭圆抛物面极小值点是,极小值是0.上半球面 极大值点是,极大值是1.使同时成立的点，称为函数的驻点.如:椭圆抛物面 由,得是其驻点.定理7.1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处取得极值，则必有.这样的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.例如有一个驻点是（0,0），但不是极值点.定理7.2（充分条件） 设函数在点及其附近连续，且有二阶连续偏导数， ，令，则(1)时，函数在点取得极值，且当时取极大值，当时有极小值；(2)时，函数在点没有极值. 教师结合课件图形讲解30′
知识巩固例 求函数的极值.解 ,,,由求得驻点为(1,0)、(1,2)、(－3,0)、(－3,2).驻点结论极小值不是极值点不是极值点极大值因此，函数的极小值为，极大值为. 教师引导学生完成45′
练习练习 求函数的极值.解 ，，，，由解得驻点为， 驻点结论极大值不是极值点 因此，函数的极大值为. 学生课堂完成教师讲解60′
例 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.解 设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积，即 （，）.可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点.令，，解这方程组，得，.从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小. 教师讲授70′
7.2.2 条件极值与拉格朗日乘数法观察前面求解极值的习题都对自变量没有约束，求这种极值我们称其为无条件极值，在实际问题中，如果自变量之间存在某种约束，我们称这样的极值称为条件极值.例4 欲用铁皮制作一个容积为的无盖长方体箱子，问箱子的长、宽、高分别为多少时才能使用料最省（即箱子的表面积最小）？该问题的实质是：在约束条件下，求目标函数的极小值. 教师结合例子讲解引导学生思考80′
新知识一般地，在约束条件下，求二元函数的极值可以使用如下拉格朗日乘数法：第一步，构造拉格朗日函数，其中为待定常数，称为拉格朗日乘数.第二步，求拉格朗日函数对每一个自变量的偏导数，，，联立方程解出，所得的点（）就是可能的极值点.第三步，判断所求得的点是否为极值点（一般由问题的实际意义即可判定）. 教师结合课件讲解90′
知识巩固例 求函数在约束条件下的极值.解 构造拉格朗日函数解方程组 得 这是唯一可能的极值点．故所求条件极值为. 例 欲用铁皮制作一个容积为的无盖长方体箱子，问箱子的长、宽、高分别为多少时才能使用料最省（即箱子的表面积最小）？分析 题目即求三元函数在约束条件下的极小值.解 构造拉格朗日函数,解方程组得，.这是唯一可能的极值点.由问题本身的实际意义可知最小值一定存在，所以最小值就在这个唯一可能的极值点（，，）处取得，即当箱子的长和宽、高时，用料最省. 教师引导完成120′
练习练习 求在约束条件下的极值.解 构造拉格朗日函数，由解得 这是唯一可能的极值点.故在点处取得极小值 学生课堂完成教师讲解130′
小结 教师总结135′
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题七对应内容.

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