资源简介

1.3 反函数与基本初等函数
教学目标：
（1）理解反函数的概念，掌握常见的反三角函数及其定义域与值域，会求解简单的函数的反函数；
（2）掌握基本初等函数及其性质；
（3）掌握函数的复合运算的方法.
教学重点：
（1）求解简单的反函数；
（2）掌握常见的反三角函数及其定义域与值域；
（3）掌握基本初等函数的性质.
教学难点：
（1）求解简单的反函数，基本初等函数的性质.
授课时数： 2课时
教学过程
过程 备注
1.3.1反函数 观察 经过前面的学习，我们知道，函数就是揭示自变量和因变量之间关系的表达式，我们已经掌握了由自变量求因变量的方法，那么如何根据因变量来求自变量呢？这就是我们这一节需要学习的内容，反函数. 教师导入新知识 3′
新知识 设函数的定义域是,值域是,如果对于任意一个，都有唯一的使得成立,这时也是的函数,称它为的反函数,记作,而称为直接函数.习惯上常用表示自变量,表示因变量,因此,经常把反函数写成. 1.反函数的定义域是直接函数的值域,反函数的值域是直接函数的定义域； 2.单调函数必存在反函数； 3.函数与其反函数是互为反函数的关系，且图像关于直线 对称. 4. 求反函数的步骤：①解出 ②互换、 ③写出定义域 教师讲授 15′
知识巩固 例 求函数的反函数. 解 由解得,互换和,得函数的反函数为. 教师引导完成 20′
1.3.2反三角函数 观察 在高等数学的三角函数中，我们是通过角度值来求对应的三角函数值，但是如何通过三角函数值来求对应的角度值呢？这就用到了反三角函数，反三角函数是高等数学中最常见，最常用到的反函数. 教师讲授 23′
新知识 正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数,记作.定义域为,值域为,为奇函数. 余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数,记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数. 正切函数在区间上的反函数称为反正切函数, 记作.定义域为,值域为,为奇函数. 余切函数在区间上的反函数称为反余切函数, 记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数. 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数符号定义域值域 (主值区间)有界性有界有界有界有界单调性单调递增单调递减单调递增单调递减奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数
教师讲授 并总结 45′
知识巩固 例 求下列反三角函数的值. （1）;（2）; （3）；（4）. 解 （1）因为，且，所以； 因为，且，所以； 因为，且， 所以; 因为，且， 所以. 教师引导学生完成 50′
练习 求下列反三角函数的值. （1）；（2）. 解 （1）因为=，且，所以； （2）因为，且，所以. 学生课堂完成，教师讲解 55′
1.3.3基本初等函数 观察 回顾之前学到的一些函数，我们可以发现，一些较复杂的函数都是由一些较为基本的，较为简单的函数经过四则运算或者复合运算得到的，我们将这些基本的，简单的函数称为基本初等函数，接下来我们详细介绍高等数学里面的基本初等函数. 教师讲授 57′
新知识 所谓基本初等函数就是指如下函数： 常数函数：(为常数)； 幂函数：； 指数函数：； 对数函数：； 三角函数： ； 反三角函数： . 教师绘制图像讲解并总结 62′
1.3.4复合函数 观察 在高等数学中，我们常见的函数的自变量都表述为,但是实际上自变量也可以不仅仅是一个单一的字母，也可能是一个表达式，在这种情况下自变量变成了一个表达式的运算结果，也就是另外一个函数的因变量，我们称这种函数为复合函数. 教师讲授 65′
新知识 如果是的函数，又是的函数，即，，且与对应的的值能使有定义，则称通过是的复合函数，记作，其中称为中间变量. 1.复合的前提条件是：内层函数的值域与外层函数的定义域必须有交集. 如：不能将，进行复合.因为的定义域,的值域 .故不能复合. 2.复合次序不能调换. 如. 3.常把复合函数拆成几个简单函数，从而便于研究和计算.复合函数在拆分时一般按照、、、、的字母顺序进行表示. 教师讲授 70′
知识巩固 例 设，，，将表示成的函数. 解 例 试将以下函数进行拆分： （1）; （2）. 解 （1），; （2），. 例 试将以下函数进行拆分： （1）; （2）. 解 （1），，; （2）. 教师引导学生完成 73′
练习 试将以下函数进行拆分： （1）; （2）; （3）. 解 （1），，; （2）; （3）. 试将以下函数进行拆分： ; . 解 （1），，; （2） 学生课堂完成教师讲解 78′
1.3.5初等函数 观察 在学习了基本初等函数和函数的复合运算，以及我们初中时候学习的函数的四则运算之后，我们就得到了初等函数的组成元素和组合方法了，基本初等函数是初等函数的组成元素，复合运算以及四则运算是这些元素的组合方法. 教师讲授 83′
新知识 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数. 例如,,都是初等函数. 1.绝对值函数既是初等函数也是分段函数. 2.绝大部分分段函数不是初等函数.如和符号函数都不是初等函数. 教师讲授 88′
小结 教师总结 90′
作业 1. 梳理本节知识内容; 2. 完成练习题一对应内容.

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