资源简介

2.5函数的连续性
教学目标：
（1）理解自变量的增量、函数的增量的概念；
（2）掌握函数在点处连续的两种定义方式；
（3）掌握左(右)连续的概念；
（4）掌握间断的概念，并且会判断函数的间断点；
（5）掌握初等函数的连续性.
教学重点：
函数在点处连续的两种定义方式；
间断的概念.
教学难点：
函数间断点的判断.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
观察如何定义自变量的增量、函数的增量？自变量的增量.函数的增量 . 课件演示图像教师引导学生5′
新知识函数在点处连续有哪两种定义方式？定义2.10 设函数在点及其附近有定义，若自变量在点处的增量趋于零时，对应的函数增量 也趋于零，即,则称函数在点处连续，点称为函数的连续点.定义2.11设函数在点及其附近有定义，若，则称函数在点处连续. . 结合课件说明15
知识巩固例1证明函数在点处连续.证明 因为，，即，所以函数在点处连续.3. 如何定义函数在点处左(右)连续？若，则称函数在点处左连续. 若，则称函数在点处右连续.显然，函数在点处连续.例 证明函数在点处连续.证明 因为，即所以函数在点处连续.【例题详解】练习 讨论在点处的连续性.解 因为,故在点处左连续；因为,故在点处不能右连续.,所以函数在点处不连续. 教师引领学生完成25′
注意1若函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续;2一般的,如果函数在某个区间上连续,则函数的图像是一条连续不断的曲线. 教师讲授33′
新知识函数的间断点如何分类？定义 若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点.定义 左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；否则就称为第二类间断点.若,称为可去间断点;若,称为跳跃间断点;若,称为无穷间断点;若振荡不存在,称为振荡间断点.即 教师讲授65′
知识巩固【例题详解】例 讨论函数的间断点类型.解 ,显然是它的两个间断点.因为，所以是第二类间断点，且为无穷间断点.因为，所以是第一类间断点，且为可去间断点.例 讨论符号函数的间断点类型. 解 ，，因为,所以是的跳跃间断点. 例 讨论函数的间断点类型.解 显然是函数 的间断点.因为当时，函数值在-1与1之间无限次的振荡变化，故是的振荡间断点. 练习 判断函数的间断点类型.解 显然是函数 的间断点.因为,故是无穷间断点.练习 判断函数的间断点类型.解 函数在点处的左右极限存在但不相等, 故为跳跃间断点.练习 判断函数的间断点类型.解 函数在点处有,所以是可去间断点. 教师引领学生完成75′
新知识初等函数的连续性性质 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数.性质 有限个连续函数的复合函数也是连续函数.性质 单调增（减）的连续函数的反函数也是单调增（减）的连续函数.应用连续函数的运算法则可以得到：所有基本初等函数在各自定义域内都是连续函数. 结合课件说明80′
知识巩固例 设讨论函数在处的连续性.分析 由于函数在分段点两侧的表达式不同，因此要考虑在分段点处的左极限与右极限．解 ,,所以． 而，即.所以函数在处连续． 教师引领完成90′
小结 总结90′
作业1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题二对应内容.
连 续
间 断

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