资源简介

人教版数学九年级上册
实际问题与二次函数
几何图形的最大面积
一、教学目标
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
4．通过用二次函数解决实际生活中的问题，体会函数知识的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.
二、教学重难点
重点：应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题
难点：从实际问题中建立二次函数模型并求出最值
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程
（一）情境导入
教师展示图片，通过常见的打高尔夫球，球在空中形成的曲线要求球到达的最大高度，喷泉到达的最大高度，引出实际生活与二次函数的联系，并回顾二次函数的最值.
问题：还记得如何求二次函数的最值吗？
教师带领学生回顾如何求二次函数的最值
1.配方法：将y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k的形式，当x=h时，函数y取得最大（小）值，为k。
2.公式法
当x=-时，函数y取得最大（小）值，为
（二）合作探究
探究二次函数解决矩形面积问题
例1：小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S＝·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
例2: 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。
（1）当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________ m
想一想：如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题的作用？
解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60-2x)m
∴矩形菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x
由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30
∵S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450
∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2
（2）当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x m
由（1）知S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450
问题1 与（1）有什么区别？
试一试 在（2）中，求自变量的取值范围？
问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？ 当x取何值时，S取得最大值？
当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小
当 x =21时，S取得最大值
此时S=－2×(21－15)2+450=378m2
总结：
与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．
（三）课堂练习
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有
二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：（1）∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0（2）当x＝-时，S最大值＝＝36（平方米）
（3）∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
（四）课后作业
如图，在足够大的空地上有一段长为 a m的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN。已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 m木栏。
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值。
（五）课堂小结
在本节课的学习中你有什么收获和感悟？
对以后的学习和生活有什么启发？
五、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况。复习旧知后，主要安排了两道基础过关题目,以此题为契机,培养学生的分析问题、解决问题的能力。本节课重点放在分析问题，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型解决问题。设计小问题，铺设小台阶，引导学生探究，突破教学难点，带领学生寻找解决的方法。在教师的引领下,发现本题就是转化为求二次函数的最大值问题，逐步将难点突破，帮助学生建立数模解决问题。
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