资源简介

综合与实践 七巧板
一、教学目标
1.以七巧板为活动素材，进一步加深对边、角、垂直、平行等概念的认识.
2.综合应用平行、垂直、轴对称的概念和性质，从数学的角度进一步认识七巧板以及相关的操作活动.
3.通过拼图活动，进一步积累数学活动经验，反思数学活动过程.
4.在活动中，进一步发展数学表达、数学交流等能力，进一步体验合作交流、自主探究的学习方式.
二、设计思路
基本意图：七巧板是学生熟悉的一种活动工具，也是学生较为感兴趣的内容. 七巧板本身与几何对象的度量关系及位置关系有着密切联系，同时“拼七巧板”这个活动对学生而言，也是从事数学活动、积累数学活动经验、反思数学活动过程的一个有效载体.
在小学阶段，学生已经开始使用七巧板进行拼图活动，大多数学生对它都有初步的了解，但是受到学生的认知水平的限制，当时的活动往往具有盲目性，学生更多关注的是“我拼出了什么”，而不是“我是怎么拼的，我是怎么思考的”，即学生关注较多的可能是“拼”这个活动的结果，而对于蕴藏在活动之中的数量关系、位置关系、数学道理等往往是不太关心的.因此本综合与实践以七巧板为活动载体，进一步加深对平行、垂直、轴对称等概念的理解，力图通过拼图、思考等环节，加深学生对七巧板的认识，立足于综合运用数学知识认识七巧板、解决相关问题，丰富学生的数学活动经验，使学生勤于反思，善于反思.
思路和重心：教科书以七巧板的制作开始.这样安排一方面说明七巧板的构成方式，使得学生动手做一副七巧板以供课堂使用成为可能；另一方面，通过制作方式的介绍，可以进一步引导学生去思考七巧板中所蕴涵的数学问题，寻找边与边之间、角与角之间的关系.于是教科书顺次提出了四个问题，分别考虑七巧板中分割线和边界线之间的位置关系、数量关系，探讨七块板中出现的角的大小关系、数量规律，以及面积之间的关系.其中不但关注学生能否寻找到相应的关系（位置、数量等），更关注学生是如何找到的，有什么理由可以支持自己的想法. 这些活动和思考都是为了后面“理性”地拼图做铺垫.
接下来，教科书设计了“做一做”环节.这个环节是本综合与实践内容的重心. 从这里开始，教科书开始讨论有条件约束的拼图问题.第一个问题以拼三角形为目标，所用七巧板的块数逐步增加（由2块变成3块）；第二个问题是第一个问题的延续，只是目标图形由三角形变成了梯形，块数由少至多；第三个问题发生了改变，此时固定了块数（7块板要全用上），而目标图形在不断变化.第一个问题比较简单，学生可以尝试，为了尽可能多地拼成符合条件的图形，学生就需要思考拼图的策略：为了拼成三角形，选择满足什么条件的板才可以，对边有什么要求，对角有什么要求……上一环节的相关思考可以给予学生一定的帮助.这三个问题，一方面给学生提供了动手操作、进行数学活动的机会；另一方面，在活动的过程中，通过问题，不断促使学生反思自己进行的每一个数学活动，积累数学活动经验.
第一个栏目“议一议”则是针对以上拼图过程进行整体性的反思和总结，进一步帮助学生积累和完善数学活动经验，帮助学生从盲目拼图转向理性思考.
有了以上活动的铺垫和相关经验的积累后，教科书进入了具体的拼图阶段. 教科书中呈现了一系列的图形，其拼图的难度是不断递进的，需要学生在亲身操作过程中去思考和选择，这也是对前面积累的数学活动经验的一次迁移和应用.
“想一想”环节是对上面“做一做”的进一步思考，其中不但包括对拼图活动的反思，还对拼出的图形进行了研究，同时考虑到本册学习的轴对称相关内容，又对拼出图形的轴对称性加以要求，借此为今后学习平移、旋转等知识积累感性经验.
第二个栏目“议一议”环节承接活动的开头，提出换一种分割方式学生可以设计出自己的“七巧板”，通过这种变式一方面加强学生对各块图形及其关系的认识，另一方面也激发了学生的兴趣与能动性.
最后，考虑到七巧板本身历史悠久，可以讨论和研究的话题还很多，于是布置学生就七巧板进一步查找资料，小组完成报告.这样有利于完善学生的学习方式，进一步提供了合作交流的机会和空间.
三、教学建议
1.课时建议.
本综合与实践可以安排2课时.第1课时的主要任务是认识七巧板，包括七巧板中各线段之间的关系、各块板所含的角度、各块板面积的关系，并通过简单的拼图活动（拼多边形）帮助学生反思拼图过程，积累活动经验.第2课时的主要任务是在第1课时的基础上，完成一系列的拼图活动，并进一步反思拼图活动，对拼出的图形进行再认识.
如果学生的思维层次比较高，也可合并为1课时.其中七巧板的制作以及原本第1课时的相关活动可以课前布置学生完成，课堂上学生汇报、讨论对拼图活动的反思和认识，并完成第2课时的内容.这时要尤为关注学生的汇报反思，因为这和他们即将进行的活动能否顺利完成有重要的关系.
2.关注数学活动、数学反思，进一步积累数学活动经验.
不论是1课时，还是2课时，数学活动及对活动的反思都是本活动的核心. 之所以在中学阶段再次展开七巧板这一课题，是因为想引导学生进行数学思考，完成从盲目拼图向理性思考过渡.因此教师要引导学生思考“我是怎么选择的”“我是怎么拼的”等问题.
当然，在具体的教学活动中，对于目标图形的选择教师可以灵活掌控，可以根据学生的能力，适当减少或增大目标图形的难度.
3.注重学生的活动，关注学生的交流.
在活动中，合作交流是一种重要的学习方式.充分的研讨，广泛交流各自的观点，必能扩大学生的思维视角，深化学生对活动的反思.因此，教学中要加强活动的教学，特别是小组合作活动的组织与教学.在合作交流中，通过相互帮助，让所有学生都得到发展，达到共同进步.
四、评价建议
1.注重对学生活动的评价，主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作与交流的情况.
本综合与实践涉及很多拼图活动，因此对学生活动的考查应成为教学评价的主要方面.这方面的评价主要以学生在从事活动时的表现作为对象，评价可以从两个方面来进行：一是学生在活动中的投入程度——能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议和意见；二是学生在活动中表现出来的思维水平、表述水平等.因此教师应关注学生是否积极地参与讨论，是否有自己的观点，能否将自己的观点清晰而有条理地表述出来等.
2.关注学生的数学反思.
本综合与实践中，关注数学活动、数学反思是核心.因此在评价时，也应予以关注这方面，特别是数学反思的评价，包括能否完成拼图、能否用多种方式完成拼图、能否合理解释自己的拼图行为、能否在拼图的过程中获得或积累一定的数字活动经验等.
当然，学生之间是有差异的，不同学生的想法和思考可能是不同的，但对于学生合理、正确的想法应给予肯定.
3.提倡运用定性的方法对学生进行评价.
鉴于本综合与实践学习的特点，在评价时应注重定性的方法.教师在教学中应多观察学生，特别是他们在小组中的表现，及时记录学生的独特想法，这不仅有利于教师全面评价学生，而且使得评价与教学成为一个有机的整体.同时要求学生以小组为单位完成的小论文也是评价学生的一个方面.论文的选题意义、内容的完成程度、小组的分工是否合理、合作是否愉快等都是应当关注的.
以折叠的方式引入七巧板的制作，一方面有别于小学阶段七巧板的引入；另一方面也与本册的轴对称内容相呼应.在制作的基础上，教科书设计了四个问题，这四个问题所涉及的内容，如平行关系、垂直关系、角度等都是本册所学习的相关内容，相等线段、面积相等图形的寻找也可以从轴对称的角度加以分析.这些问题的解决，可以进一步加深学生对七巧板的认识，也为后继实现“理性”拼图做一些铺垫.
（1）如AD∥HG∥BC，AB∥CD，JF∥AG，BD∥EF，…
如AI ⊥ BD，HG ⊥AB，…
（2）如AB=BC=CD=AD，AI=BI=DI=EF，HG=BE=CE=CF=FD，BH=HI=
IJ=JD=JF=FG=GI=EG，…
（3）角度为45°，90°，135°，全部是45°的正整数倍.
（4）如，其中= 4∶2∶1.
对于以上四个问题，不要求学生的答案全面无遗漏，重要的在于学生是如何得到这些结论的.关注学生能否利用已学的知识去解决这些问题.
做一做
第一个问题是从拼三角形出发，所用七巧板的块数逐步增加（由2块变成3 块）；第二个问题是第一个问题的延续，只是目标图形由三角形变成了梯形，依然从块数入手，由少到多；第三个问题发生了改变，此时固定了块数（7块板要全用上），目标图形不断变化.
这三个问题都是为后面拼图做铺垫，希望学生不是盲目尝试，而是在一定的思考下（以上一环节提出的四个问题为拼图的基础），进行尝试，因此每一问题的操作之后，都有类似“你是怎么选择的”“你是怎么拼的”这样的问题，希望帮助学生反思自己的拼图过程，为下一环节“你积累了什么经验”打下基础.
（1）选两块拼三角形，如①与②，③与⑤等；选三块拼三角形，如③④⑤，③⑤⑥，③⑤⑦等.
（2）至少两块，如③④，⑤⑥；三块拼梯形，如③④⑤，④⑤⑥，③⑤①等.
（3）七块都用上可以拼三角形，也能拼成长方形、平行四边形.下面是一些学生作品，供参考.
议一议
旨在对前面的数学活动进行反思，为下面的拼图活动做铺垫.
做一做
教科书呈现了6幅用七巧板拼成的图片，要求学生先想一想，再拼一拼，由易到难.
想一想
（1）这个问题一方面比较有意思，利于激发学生的兴趣和探究欲；另一方面也是对学生拼图活动的进一步提升和反思.小学阶段往往完成拼图活动后，关于数学思考的部分就结束了，这里除了对活动需要反思，还需要对拼出的图形进行再认识.
（2）在拼图中提出了轴对称的问题，这一方面与本册的教学内容呼应；另一方面也与一开始利用轴对称制作七巧板的活动相呼应.这一问题比较开放，仅对即将完成的拼图提出了唯一要求——轴对称.这样设置有两个目的：一是对拼图活动的再深入；二是希望可以通过该问题进一步培养学生的创造性.
由于问题（2）具有开放性，因此多数学生可能更关注拼出的图形，拼图过程较为盲目，缺乏对拼图的反思.因此，要适时引导学生展开对问题（3）的研讨.
（3）目的不在于拼图活动，而是为了帮助学生反思与总结：拼一个轴对称图形有没有什么策略 如何可以快速拼出一个轴对称图形 此时教师可以鼓励学生自己去反思拼图过程，寻找方法，也可以引导学生思考：七块板中，哪几块本身是轴对称的，哪些组合在一起构成的图形可以和另一些的组合构成的图形成轴对称，这也是对前面活动的回顾与反思.如①与②成轴对称，③④的组合与⑤⑥的组合成轴对称，⑦本身是轴对称图形，因此只要将①与②成轴对称放置，③④的组合与⑥⑤的组合也成轴对称放置，将⑦的对称轴与上述对称轴重合即可组成轴对称图形；又如，⑥与⑦可组成等腰梯形（轴对称图形），其余各块都是轴对称的，因此也可很快组成轴对称图形.
问题（4）较其他三个问题更为开放，没有任何限制，为七巧板这一素材提供了更广阔的发挥空间，鼓励学生拼出更多有趣的图形.
议一议
这里提出换一种分割方式可以得到自己设计的“七巧板”，可以进一步激发学生的主观能动性.同时对于这样一幅“新板”，我们与本“综合与实践”开头相呼应，也提出了它们的边、角、面积之间关系的问题，希望学生的研究重心不仅仅停留在“拼出好玩图形”这一点上，也引导他们关注图形本身蕴含的数量、位置等关系，进行数学地思考.
可以从七巧板的历史、发展、演变等多角度切入，进一步发展学生查阅资料、收集整理以及合作交流等各种能力.
习题
1.共四种.不要求学生全部拼出，能拼出一种即可.
2.
附录一 学科知识拓展
四巧板
四巧板是一种类似七巧板的智力玩具.中国古代称它为调合板，这个名字很吉祥，是拼出的图块很协调的意思；西方叫它为“T字板”，因为它能拼出一个T字来；日本也叫“博士板”，因为这种板不仅用来作为课外活动的玩具，而且还用来测试智能，根据拼图的难易，分成九档：婴儿水平、幼儿水平、初小水平、高小水平、初中水平、高中水平、专科水平、大学水平和博士水平.也就是说，如果能拼出最难的图形，就能达到博士水平的智力.
把一个长方形按如图所示的方式分割成四部分，就可以得到一副四巧板，其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块.这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°，135°和270°的角.
你能用四巧板拼出下列图形吗
答案：
附录二 典型案例评析
七 巧 板
设计：江苏教育学院 凌晓牧
评析：北京教育学院 史炳星
一、学情分析
1.在小学阶段，学生已经开始使用七巧板进行拼图活动，大多数学生对它都有了初步的了解，但当时的活动具有盲目性，缺乏数学思考.
2.本册学行、垂直、轴对称等内容，学生有条件对七巧板进行有条理、有逻辑的数学思考.
3.学生已经具备从事数学活动、数学交流、数学思考的活动经验，有利于对七巧板进行再活动、再思考.
二、任务分析
本综合与实践主要是以七巧板为活动的载体，通过活动进一步加深学生对平行、垂直、轴对称等概念的理解，力图通过拼图、思考等环节，深化学生对七巧板的认识，立足于综合运用数学知识认识七巧板、解决相关问题，丰富学生的数学活动经验，使学生养成勤于反思、善于反思的习惯.
三、教学目标
1.以七巧板为活动素材，进一步加深对平行、垂直、轴对称等概念的认识.
2.综合应用平行、垂直、轴对称的概念和性质，从数学的角度进一步认识七巧板以及相关的操作活动.
3.通过拼图活动，进一步积累数学活动经验，反思数学活动过程.
4.在活动中，进一步发展数学表达、数学交流等能力，进一步体验合作交流、自主探究的学习方式.
四、教学过程
活动1：准备一张正方形纸片，先照图1的方式折叠，然后打开.
图1
按照图2的方式画线，然后沿实线分割，从而得到一副七巧板（图3）.
图2 图3
（1）请你在图2的实线中，分别找出三对具有平行关系和垂直关系的线段.
（2）请你在图2的实线中，找出三对相等的线段.你是怎么知道它们是相 等的
（3）你能设法标出图3七巧板中每一块中各角的度数吗 你有什么发现
（4）在图3所示的七块板中，你能找到几对面积相等的图形 它们的面积有怎样的关系
活动目的：以折叠的方式引入七巧板的制作，与本册的轴对称内容相呼应. 四个问题都与学生所学过的几何内容有联系.
活动效果预期：对于问题（1）（2）（3），绝大多数学生都可以顺利找出.如果细问理由，有的学生是“观察”出来的，有的学生可以通过说理得到，理由源于通过折叠（轴对称）可以得到一系列的垂直关系和角度的具体值，利用这些可以判断平行、垂直、线段相等等关系.问题（3）涉及的角度问题，在小学讨论七巧板时很少提及，这里出现的角度是45°，90°和135°，都是45°的倍数.对于问题（4），有的学生基于图2 根据轴对称得出结论，也有学生直接把剪下的图形重叠在一起进行判断.后一种方法容易漏掉一些面积相等但是形状不同的图形，如图3中的⑥与⑦.
活动2：通过动手操作，完成下列活动，并回答有关问题.
（1）在7块板中任选2块，你能拼出多少种大小不同的三角形 你有几种不同的拼法 如果选3块，你是怎么选择的 与同伴交流各自的拼图过程.
（2）想拼一个梯形，至少要用几块板 你是怎么拼的 多选几块板，你还有哪些不同的拼法 你是怎么选择的
（3）如果将7块板都用上，你能拼成三角形吗 你是怎么拼的 能拼成长方形、平行四边形吗 你有几种不同的拼法 你还能拼出其他的多边形吗
（4）在上面的拼图活动中，你积累了什么经验
活动目的：问题（1）（2）（3）试图体现两条线索：一是七巧板的使用从部分到全部，块数逐步增多；二是拼出的图形从三角形到四边形，边数逐步增多. 同时希望学生不是盲目地尝试，而是在一定的思考下进行活动，因此每一个操作之后，都有类似“你是怎么选择的”“你是怎么拼的”这样的问题.另外活动2可以帮助学生积累活动经验、反思自己的拼图过程，也是为后面拼图活动做铺垫.
活动效果预期：对于选择2块或3块板拼三角形的问题，拼出图形（特别是2块板的活动）相对较为容易，而要说出怎么拼、怎么选，相对较难.有的学生可能表达不太清楚，有的学生甚至没有反思过拼图的过程.因此建议教师多花点时间，让学生充分思考、交流，通过活动和彼此交流积累活动经验.对于层次较高的学生，可以建议其先思考再动手.
活动3：利用全部的7块板，你能拼出下列图形吗 先想一想，再拼一拼.
图4
（1）图4的两个小人，是分别用一副同样的七巧板拼出的，人形几乎一模一样，但是一个有脚，另一个却没有脚.这是怎么回事
（2）你能拼出一个不同于图4的轴对称图形吗 你是怎么拼的
（3）拼出轴对称图形的策略是什么 先想一想，再快速拼出一个轴对称图形，与同伴进行交流.
（4）你还能拼出什么有趣的图形 和同伴进行交流.
活动目的：拼图活动中呈现的六幅图是有层次的，其中图a、图b每一块板的分界线画得非常清晰，是可以“依葫芦画瓢”完成的；图c、图d呈现了两个很像的“小人”，虽未画出分割线，但是依然可以“按图索意”拼出图形；图e、图f只有外轮廓，难度更大.同时基于以上六幅图也设计了4个问题，旨在进一步帮助学生反思.
活动效果预期：随着拼图难度的加大，更能体现“先思考再实践”的优越性. 学生对拼图依然会是很喜欢的，热情也会很高涨，也有同学事先做了功课，会提供大量拼图图片.
五、案例评析
本综合与实践设计了制作七巧板和利用七巧板拼、摆图形的活动，并在活动中要求学生思考、回答相关的问题.本教学设计主要体现了学生在数学活动中 对活动经验的积累及对操作方法的反思，特别突出了学生的思考过程.同时在活动中，学生也能感受到对已学知识如平行线、三角形、轴对称图形内容的综合应用等.
由于本综合与实践的内容是这次教科书修订中新增设的内容，还期待更多教师给出更多、更好的教学建议.
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