资源简介

数列专题之分奇偶项求和
若一个数列从第一项开始依次研究很难发现规律，但把所有的奇数项与所有的偶数项单独拿出来研究，发现所有的奇数项与所有的偶数项是新的等差或等比或其它有规律容易求通项公式的数列，此时用分奇偶项研究的思想来研究数列就比较简单。主要有以下思想：
【题型一】数列所有奇数项与所有偶数项是等差或等比数列
【例1】已知数列满足，，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前20项和.
【详解】为偶数，则，，
，即，且，
是以2为首项，3为公差的等差数列，
，，
当n为奇数时，，
的前20项和为：
由可知，
的前20项和为
练习1. 已知数列满足，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前项和．
练习2. 已知数列满足，
若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，，，并证明：数列为等差数列
求数列的前项和．
练习3. 已知等比数列的公比，满足：，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
【题型二】数列分奇偶项加裂项求和
【例2】 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，．
求数列和的通项公式；
若，设数列的前项和为，求．
【详解】设数列的公差为，数列的公比为，
由，，，
得，解得，
，
由，得，
则为奇数时，，
为偶数时，，
．
练习4. 已知等比数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，若．
求数列的通项公式；
设为的前项和，求．
练习5. 数列且，若为数列的前项和，则[endnoteRef:1]____．（偶） [1: ]
【题型三】 通项含有(－1)n的类型
【例3】 在数列中，，数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和．
【详解】(1)(2)
(1)因为，所以．
所以当时，．
两式相减，得，
即．
所以．
相减得，
即．
所以数列是等差数列．
当n＝1时，，解得．
所以公差．
所以．
(2)，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
综上所述，
练习6. 已知是公差不为零的等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，数列化的前项和为
练习7. 已知是正项等差数列，，数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
【题型四】 含有三角函数问题
【例4】 已知数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
【详解】(1)(2)
(1)当时，，即
当时，，即
所以得
即以为首相，公比为2的等比数列
所以数列的通项公式为
(2)
①当为偶数时，
②当为奇数时，
综上：
练习8. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:2]；奇偶）
（2）若数列满足，求数列的前项和. [2: ]
练习9. （2022·广东茂名·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
参考答案
练习1.【答案】解：因为，
所以，，，
所以，，
，
或者
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以．
练习2..【答案】解：因为
所以，
，
，
由题意知，，
且
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
结合可知，的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
所以
．
练习3.【答案】解：因为是公比的等比数列，
所以由得，即，则
故，解得或舍去，
故，则，所以
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
．
练习4.【答案】解：设数列的公差为，数列的公比为，
由，，，
得，解得，
，
由，得，
则为奇数时，，
为偶数时，，
．
练习5.【答案】解：数列且，
当为奇数时，；
当为偶数时，，所以，
．
故答案为．
练习6.【答案】解：【答案】(1)(2)
(1)公差不为零的等差数列，由， ，解得.
又，可得，
所以数列是以1为首项和公差的等差数列，
所以.
(2)解：由（1）可知，
，
练习7.【答案】 解：（Ⅰ）依题意，设（、是常数，且）……1分
，即……2分
，即……3分
解得（舍去），或，……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
……7分
为偶数时，……8分，
……9分
为奇数时，
……10分
……11分
所以，……12分
练习8.【答案】解：(1)设首项为，公差为d，则解得
（2）
当n为偶数时，
当n为奇数时，
练习9.【答案】【答案】(1)，(2)
(1)当时，，
整理得，
又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则，
(2)当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则

展开更多......

收起↑