资源简介

1.1.1反函数
教学目标：
（1）复习、理解函数（含分段函数）的概念、函数的性质、几种常见函数；
（2）学习反函数的概念，及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数；
（3）介绍微软高级计算器Mathematics4.0。
教学重点：
（1）函数知识复习（衔接高职阶段知识）；
（2）反函数。
教学难点：
反函数的概念
授课时数： 2课时
教学过程
过程 备注
引言 介绍本学科学习要求及本章主要内容。知识回顾我们曾经学习过函数的概念．大家知道，在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意的，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数，记作．其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫这个函数的定义域． 自变量取定义域D中的数值时，对应的数值叫做函数在点处的函数值，记作或．当遍取内的所有数值时，对应函数值所组成的集合叫做函数的值域．定义域和对应法则是函数的两个要素．在定义域的不同子集内，对应法则由不同的解析式所确定的函数称为分段函数．例如， 其中，称为分段函数的分段点． 函数性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。学习过的几类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。 通过幻灯片演示引领学生回顾30′
问题一个装有液体的圆柱形容器，其底面直径为D，高为h，则容器内液体体积y与液面高度x的函数关系为． 知道液面高度x，就可以知道容器内液体体积y．反过来，知道了容器内液体体积y，如何求得液面高度x呢？ 引领学生讨论完 成35′
新知识解决提出的问题之前，先来研究函数图像的一个特征．作出函数与函数的图像（图1-2）．观察图像发现，函数的图像（图1-2（1））与任何水平直线相交的交点最多有一个，具有这种特征的函数称为一对一函数；而函数的图像（图1-2（2））与水平直线相交的交点会多于1个，具有这种特征的函数称为非一对一函数． (1) (2) 图1-2对于一对一函数，值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因此可以用函数y来表示自变量x．例如，可以写成，这样就构成一个以函数值y为自变量的新函数，叫做原来函数的反函数．按照数学习惯，仍然用字母x表示自变量，用字母y表示函数．这样，函数的反函数就是．函数的反函数一般记作．如的反函数为．函数与其反函数的关系如图1-3所示．图1－3显然，函数的定义域是反函数的值域，函数的值域是反函数的定义域．求一对一函数的反函数的基本步骤是：用函数y来表示自变量x；自变量和函数互换字母． 动画演 示45′
知识巩固例1 求函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像．解 函数的定义域为，值域为．将两边平方，整理得 ．互换字母得 ．由于函数的值域为，故函数的反函数的定义域为．因此所求反函数为 （）．函数的图像如图1-4所示．图1-4 学生练习教师检查辅 导55′
链接软件利用Microsoft Mathematic4.0(简体中文版)作出函数的图像 演示60′
新知识显然，不同角的同名三角函数值有可能相等，例如．也就是说．正弦函数图像与平行于x轴的直线的交点会多余一个（图1－6），所以三角函数不是一对一的函数．图1－6为保证三角函数存在反函数，需要改变三角函数的定义域，使之在所定义的区间上为一对一的函数．因此将反三角函数定义如下：正弦函数上的反函数叫做反正弦函数，记作，其定义域为[-1,1], 值域为 ，函数图形如图1－7（1）所示..余弦函数在上的反函数叫做反余弦函数，记作，其定义域为[-1,1]，值域为 ，函数图形如图1－7（2）所示.正切函数在上的反函数叫做反正切函数，记作，其定义域为，值域为 ，函数图形如图1－7（3）所示. （1） （2） （3）图1-7 教师讲 授 80′
做一做 利用高级计算器依次作出反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的图像并分析函数的性质． 教师演 示82′
练习题求出下列函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像．（1）； （2）. 学生课上完 成88′
小结 新知识：反函数 90′
作业 1.进一步梳理高中阶段函数的相关知识；2.自学微软高级计算器Mathematics4.0;3.完成习题册作业1.1.1。

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