资源简介

2.1.1导数的概念
教学目标：
（1）研究曲线的切线问题，寻找求曲线上一点处切线的斜率的方法；
（2）学习导数的概念；
（3）分析曲线上一点处切线的斜率与导数之间的关系，学会求曲线上一点处的切线的方程。
教学重点：
（1）导数的概念；
（2）曲线上一点处的切线的方程。
教学难点：
对导数的概念的理解。
授课时数： 2课时
教学过程
过程 备注
引言 介绍本章学习的主要内容。 教师讲授
知识回顾设直线的倾斜角为，点和点为直线上的任意两点，则当时，直线的斜率为． 引导学生回答5′
问题在平面解析几何中，我们将与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线．如图2－1所示，直线L是过圆周上一点P的切线． 图2－1 图2－2但是对其他曲线，这样的定义就不一定合适，例如，图2－2中的直线虽然与曲线只有一个交点，但是不能确定它们一定是曲线的切线．那么，对于一般曲线，如何定义和研究过曲线上一点P的切线呢？ 教师讲授10′
新知识下面采用动态处理的方法定义一般曲线的切线．如图2－3所示，选取曲线上的任意点Q，做割线；然后让点Q沿着曲线趋近于点P，判断此时割线斜率的极限是否存在，如果存在，就把以这个极限值为斜率的直线定义为曲线在点P的切线． 图2－3 大家知道，二次函数的图像是抛物线。如图2－4所示，点为抛物线上的点．依据上面的切线定义，求抛物线在点处的切线．设为抛物线上任意一点，在点处， 为自变量的改变量（或自变量的增量），为函数的相应改变量（或函数的增量）．则割线的斜率为当点Q沿着抛物线趋近点P时，， 此时，割线的极限位置为PT． 图2－4因为 ．故抛物线在点处切线的斜率为2．因此，切线PT的方程为，即 ．一般地，设是曲线上的一个定点，是曲线上异于的任意一点，则割线PQ的斜率为，其中为割线PQ的倾斜角.当时，如果极限 存在，那么，这个极限值就是曲线在点处的切线PT的斜率. 结合动画演示讲授教师讲授与学生回答相结合30′
做一做采用同样的思路来研究非匀速直线运动物体的瞬时速度．设一个物体做非匀速直线运动，其路程与时间的关系为.求该物体在时刻的瞬时速度．在附近的一段时间间隔内，即从到这段时间内，物体走过的路程为．当很小时，我们把变速运动近似地看成是匀速运动.因此，可以用这段时间间隔的平均速度近似地描述瞬时速度．由于速度是变化的，所以对任意的固定的，它只是一个近似值.但是，在无限变小的过程中，平均速度无限接近时刻的瞬时速度．因此，当趋于零时，如果极限存在，那么，这个极限值就是变速直线运动的瞬时速度．即． 在教师引领下共同完成40′
新知识以上两个例子的具体意义虽然不同，但抽象出的数量关系却相同——研究函数改变量与自变量改变量之比的极限．一般地，设函数在点处自变量的改变量为，对应函数的改变量为，若当时存在，则称函数在点处可导，并将极限值叫做函数在点处的导数（瞬时变化率）．记作，．即=． （2.1）关于函数的导数有以下结论（1）若不存在，则称函数在点处不可导．（2）函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率．（3）若函数 在区间 (a，b) 内的每一点处都可导，即对任意x∈(a，b)，极限＝都存在，则称“函数y＝f (x)在区间 (a, b) 内可导”．这时，函数对于每一点x∈(a, b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新函数叫做函数的导函数，记为，或f (x) .即＝ （2.2）（4）函数y＝f (x)在点x0处的导数就是导函数在点x＝x0处的函数值，即＝.今后，在不引起混淆的情况下，导函数和导数统称为导数.利用定义求函数y＝f (x)的导数的步骤是：.（1）写出函数的改变量 ；（2）计算比值；（3）计算极限 . 教师讲授60′
知识巩固例1 求函数(是常数)的导数．解 （1）求函数的改变量 ；（2）算比值 ,（3）取极限 .即 ．例2 求函数的导数．解 （1）求函数的改变量 ；（2）算比值 ＝；（3）取极限 .故 . 教师讲授在教师引领下共同完成70′
练习2.1.11．用定义求函数在处的导数．2．求抛物线在点处的切线方程． 学生课上完成85′
小结 新知识：导数的概念；曲线上一点处的切线的方程。 90′
作业 1. 通过复习导数的概念， 加深对其内涵的理解,并尝试总结导数的思想及本质；2. 完成习题册作业2.1.2。
P
T

展开更多......

收起↑