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2.2.2函数的极值与最值
教学目标：
（1）利用函数图象，通过观察分析去认识函数极值的定义，认识函数极值与函数最值的区别；
（2）学会利用导数求可导函数极值的方法；
（3）学会闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，会解决简单的最大值与最小值应用问题。
教学重点：
函数极值的概念和求法，闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法，简单的最大值与最小值应用问题的求解；
教学难点：
函数极值与函数最值的区别，最大值与最小值应用问题的求解。
授课时数： 4课时.
教学过程
过程 备注
1.函数的极值知识回顾二次函数，当（或）时，在处取得最小（或最大）值． 5′
新知识函数的最大值（或最小值）是针对整个定义范围而言．下面研究在某些局部点的情况． 图2－7观察函数的图像（图2－7）．在点邻近取值时有；在点邻近取值时有．一般地，设函数在区间内有定义，如果在邻近取值时有（或）成立，那么，就把叫做函数的一个极大（或极小）值，点叫做的一个极大值（或极小值）点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点.由此可见，极大值和极小值是局部概念.它只意味着在的邻近各点的函数值的比较，而不意味它在整个区间内最大或最小. 观察图2－7可以看到，在极值点处，函数的导数为零，即极值点为驻点．但是驻点不一定是极值点．例如，函数的导数为，由于，因此是函数的驻点，但却不是该函数的极值点.此外，导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值.因此函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，称它们为可能极值点.一般地，设函数在点的邻近连续且可导（可以不存在），当由小增大经过点时，如果（1）由正变负，那么是极大值点；（2）由负变正，那么是极小值点；（3）不改变符号，那么不是极值点.因此求函数极值的一般步骤为：（1）求出函数的定义域；（2）求的导数；（3）求出的全部可能极值点；（4）判断可能极值点是否为极值点；（5）求出各极值点的函数值. 教师讲授30′
知识巩固例5 求函数的极值.解 函数的定义域为..令，解得，.列表观察（表2-1）：表2-100↗极大值2↘无极值↘因此，函数的极大值为.例6 求函数的极值.解 函数的定义域为. ； 当时，不存在.列表（表2-2）：表2-2(-∞，2)2(2，+∞)(x)+不存在－f (x)↗极大值1↘由表2-2知，为函数的极值点，函数的极大值（图2-8）.图2－8 教师讲授在教师引领下共同完成50′
新知识设是函数的驻点，并且函数在点处有二阶导数.还可以利用二阶导数来判定点是否为函数的极值点.方法如下：（1）若，则函数在点处取得极大值；（2）若，则函数在点处取得极小值；（3）若，则不能判断在点是否取得极值. 教师讲授60′
练习2.2.2（1） 1.求下列函数的极值点和极值：(1)； (2)； 学生课上完成90′
2．最大值与最小值问题在工农业生产、工程技术及科学技术分析中，往往会遇到在一定条件下，求“产量最大”，“用料最省”，“成本最低”，“效率最高”等实际问题，这类问题一般可归结为求函数的最大值或最小值问题，统称为最值问题.下面就函数的不同情况，分别研究函数的最值的求法.新知识（1）闭区间上的连续函数由连续函数的性质知，如果在闭区间上连续，那么一定存在最大值和最小值.因此，只要求出函数的所有极值点和端点的函数值，进行比较即可得到函数在该区间上的最值。 教师讲授97′
知识巩固例7 求函数在上的最大值和最小值.解 ，令，解得 ，，.于是 ，，，所以，在上的最大值为，最小值为. 在教师引领下共同完成110′
新知识（2）一般区间上的连续函数如果在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导并且只有一个驻点，那么，当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值. 教师讲授115′
知识巩固例8 求函数的最大值.解 函数的定义域为..令，得驻点．当时，；当时，，故是函数的极大值点，极大值为１. 图2－9因为函数在内只有唯一的一个极值点，所以函数的极大值就是函数的最大值，即函数的最大值点是，最大值为1（图2-9）. 在教师引领下共同完成125′
新知识（3）实际问题中的最值实际问题中，往往根据问题的实际意义就可以断定函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得，这时如果函数在定义区间内部只有一个驻点，那么，不用讨论就可断定是所求的最大值或最小值. 教师讲授130′
知识巩固例9 欲用长6m的铝合金料加工一个日字形窗框（图2－10），问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？解 设窗框的宽为m，则长为m.窗户的面积为 ，.令，求得驻点，当时，(m).由于函数在定义区间内只有唯一的驻点，而由实际问题知道面积的最大值存在，因此驻点就是最大值点，即窗户的宽为1m，长为m时，窗户的面积最大.最大的面积为（）.例10 要铺设一条石油管道将石油从炼油厂输送到石油灌装点，图2-11所示，炼油厂附近有一条宽2.5km的河，灌装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处，如果在水中铺设管道的费用为6万元／公里，在河边铺设管道的费用为4万元／公里，试在河边找一点P使管道铺设费最低． 解 设P点距炼油厂的距离为,管道铺设费用为由题意有 令，得驻点，舍去大于10的驻点，由于管道最低铺设费用一定存在，且在（0,10）内取得，所以最小值点为，最低管道铺设费为万元． 教师讲授160′
练习2.2.2（2） 欲做一个底为正方形，容积为的开口容器怎样做法用料最省． 在教师引领下共同完成175′
小结 新知识：函数的极值，最值，最值应用问题的求解。 180′
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成习题册作业2.2.2。
y=f(x)
x1
x2
图2－10
图2－11
P

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