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3.1.1不定积分的概念与积分公式
教学目标：
（1）理解原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义；
（2）掌握不定积分的基本积分公式、运算法则；
（3）学会用直接积分法计算函数的不定积分。
教学重点：
（1）不定积分的概念；
（2）用直接积分法计算函数的不定积分。
教学难点：
对不定积分的几何意义的理解。
授课时数： 3课时
教学过程
过程 备注
引言 介绍本章学习的主要内容。 教师讲授5′
问题一辆火车以的速度匀速行驶．当启动刹车系统时，火车以固定的减速度停下．设火车在启动刹车系统秒后的速度和位移分别为和，需要解决的问题是：如何用表示和．我们知道，若已知位移函数，则可得到物体运动的速度函数；同样若已知物体运动的速度函数，可得到物体运动的加速度函数．现在要解决的问题与上述过程刚好相反，即(1) 已知速度函数的导数，求速度函数；(2) 已知位移函数的导数，求速度函数．这是求导数的逆运算问题，是积分学的基本概念之一． 教师讲授与学生回答相结合10′
1. 原函数与不定积分的概念新知识上面两个问题实质上都是在满足函数的情况下如何求原来函数的问题，由此，抽象出原函数的概念．如果在区间上，函数与满足，则称函数是函数在该区间上的一个原函数． 教师讲授15′
知识巩固例1 求函数的原函数．解 因为，所以是的一个原函数；因为，所以是的一个原函数；因为（是任意常数），所以对于任意常数，都是的原函数．由例1不难得出：(1) 函数的原函数有无穷多个；(2) 函数的两个原函数之间只相差一个常数；(3) 若函数为函数的一个原函数，则（是任意常数）表示的全部原函数． 教师讲授25′
新知识函数在区间I上的全部原函数（为任意常数）称为在区间I上的不定积分，记作：，即． （3.1）其中符号称为不定积分号，称为被积函数，称为被积表达式， x称为积分变量，C称为积分常数． 教师讲授30′
知识巩固例2 求下列各不定积分(1) ； (2) ．解 (1) 因为，所以是的一个原函数，因此．(2) 因为，所以是的一个原函数，因此． 在教师引领下共同完成40′
做一做(1) 已知，求；(2) 求不定积分． 在教师引领下完成55′
新知识由不定积分的概念知，函数的不定积分与导数（或微分）互为逆运算，即(1) 或．(2) 或． 教师讲授60′
2. 不定积分的几何意义探究由知，是的全部原函数．因为的图像可以由抛物线沿轴移动个单位得到，所以的图像是一族抛物线（如图3-1所示），并且每条抛物线上横坐标相同点处切线的斜率 相等，都等于． 图3-1 结合图像动画演示70′
结论若是的一个原函数，则称的图形是的积分曲线．因为不定积分 是的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．积分曲线族的特点是： (1) 积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条沿y轴平行移动而得到．(2) 每条积分曲线上横坐标相同点处，切线斜率相等，都等于，从而使相应点的切线相互平行（如图3-2所示）． 图3-2 教师讲授80′
3. 不定积分的基本积分公式、运算法则、直接积分法新知识基本积分公式函数的不定积分与导数（或微分）互为逆运算，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式．序号1．2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.运算法则不定积分有以下两条运算法则．(1) (2) ，（k为不等于零的常数）直接积分法 利用运算法则及被积函数的恒等变形，将所求积分转化为基本积分公式表中的积分进行计算． 教师讲授95′
知识巩固例3 求下列不定积分(1) ； (2) ． 解 (1) ，令，则 ． 说明：今后计算不定积分时，不必分别加积分常数，只需在最后加一个即可． (2) ．例4 求下列不定积分 (1) ； (2) ．解 (1) ． (2) ．例5 一物体以速度（单位：）作直线运动，当时，物体经过的路程，求该物体的运动方程．解 因为 ，所以 ．当时，，因此 ，即，故该物体的运动方程为． 教师讲授在教师引领下完成110′教师讲授115′
练习3.1.11．求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；2．一曲线经过点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程． 学生课上完成130′
小结 新知识：原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义，不定积分的基本积分公式、运算法则，用直接积分法计算函数的不定积分。 135′
作业 1. 通过复习原函数与不定积分的关系，记忆不定积分的基本积分公式；2. 完成习题册作业3.1.1。

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