资源简介

3.2.1定积分的概念
教学目标：
理解定积分的概念及几何意义。
教学重点：
定积分的概念。
教学难点：
定积分的概念的理解。
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
探究1．面积问题如何计算由曲线和直线、、围成的图形（图3- 4）的面积呢？回想第1章曾介绍利用“割圆术”求圆周长的方法，现在继续用这种思想求上述图形的面积．设所求面积为．第1步：以矩形面积做面积的近似值．通过作直线，，…… ，把面积分成个条形，再过上述直线与曲线的交点做平行于轴的直线，即可得到个矩形（图3- 5），这些矩形面积的和就是面积的近似值．容易看出：每个矩形的宽都是，高分别为函数在点，，…… ，，处的函数值，于是．利用公式得，． 第2步：利用极限思想求面积．由图3- 5可以看到，随着矩形个数的增加（当增大时），和越接近．因此，所求面积为矩形面积和的极限，即 ．一般地，由曲线和直线、、围成的的平面图形称为曲边梯形（图3-6）．下面来计算曲边梯形的面积． （1）用直线，，…… ，将面积分成个等宽的小曲边梯形（如图3-7所示），每个小曲边梯形的宽都是．这时，区间被分成个小区间：，，……，（其中，）， （2）用宽为、高分别为函数在每个小区间右端点处的函数值的矩形面积来近似代替对应的小曲边梯形面积，这些矩形面积的和就是面积的一个近似值．于是． （3）上述和的极限就是所求曲边梯形的面积，即．事实上，可以用区间上任意一点处的函数值代替其右端点的函数值（1，2，……，）作为小矩形的高，每个小区间的长度即小矩形的宽也可以是不相等的，，……．在最大的小区间长度趋向零的条件下，可得到计算曲边梯形面积的更一般的结果 其中，，如图3-8所示．2．路程问题作直线运动的物体，若在固定的时间内速度是不变的，则路程可以用公式 路程速度时间求出．但是，如果速度是变化的，路程不能用上述公式计算．那么，怎样计算做变速直线运动的物体在固定时间内经过的路程呢？我们看下面的例子．某物体做变速直线运动，已知速度为是时间的连续函数，采用类似于计算曲边梯形面积的方法，计算该物体在时间段经过的路程．（1）把时间区间分成个小段，，……，，……，（其中，）， （2）记第段时间的长度为．任取一点，用这一刻的速度代替小段时间上的速度，得到第段时间物体经过的路程的近似值（1，2，……，）．将物体在每小段时间经过路程的近似值相加，可以得到在时间段经过路程的近似值，即 ． （3）在最大的小段时间长度趋向于零的条件下，的极限就是所求的路程， ，其中，． 动画演示图3- 4面积的求法总结求解步骤演示曲边梯形的面积的求法总结求解步骤强调更一般的结果在教师引领下共同完成50′
新知识上面两个问题，虽然实际意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是计算一种和式的极限．类似的问题还有很多，因此我们有必要对一般的这类和式的极限问题进行研究，这就是定积分问题．设函数在区间上有定义，任取分点，把分成个小区间，记，，在每个小区间上任取一点，做乘积的和式，如果时上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为． （3.3）其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，区间称为积分区间，、分别称为积分下限和积分上限．此时也称函数在区间上可积，否则称不可积．根据上述结论，可知(1) 由曲线和直线，，围成的曲边梯形的面积为．(2) 做变速直线运动的物体，已知速度为是时间的连续函数，该物体在时间段经过的路程为．关于定积分的几点说明 (1) 定积分是一个确定的常数，它只与被积函数及积分上、下限有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即 ． (2) 为讨论方便，规定：； ．(3) 在区间上，当时，表示如图3-6所示的曲边梯形的面积；当时，表示如图3-9所示的曲边梯形的面积，所以；当有正有负时，表示如图3-10所示图形各面积的代数和，即． 教师讲授70′
练习3.2.11．求的值．2．已知，求的值． 3．利用定积分的几何意义求定积分的值． 在教师引领下学生课上完成85′
小结 新知识：定积分的概念及几何意义 90′
作业1.梳理运用求“和式的极限”解决问题思路，写出求解步骤。2.完成习题册作业3.2.1。
图3-5
图3-4
图3-7
图3-6
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图3-8
图3-10
图3-9

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