资源简介

3.1.2不定积分的计算
教学目标：
（1）学会用凑微分法计算函数的不定积分；
（2）掌握分部积分法的步骤和关键，学会用分部积分法计算函数的不定积分。
教学重点：
用凑微分法和分部积分法计算函数的不定积分。
教学难点：
对“凑微分”公式的理解，分部积分法的步骤和关键。
授课时数： 4课时.
教学过程
过程 备注
做一做完成下面等式(1) ； (2) ； (3) ；(4)；(5) ； (6) ． 在教师提示下完成10′
探究例6 求不定积分．解1 ．解2 令，则，代入原积分中，得 ，再将回代，得 ．因为，所以确定是的一个原函数，说明这种方法是正确的．利用这种方法可以很容易的计算出如、等不定积分，不必将被积函数展开，使得计算非常方便．这种做法是否具有普遍性呢？答案是肯定的． 师生共同完成20′
1. 不定积分的换元积分法新知识一般地，若成立，则当是的可导函数时，也成立．这个结论表明：在基本积分公式中，自变量换成可导函数时，积分公式的形式不变，公式仍然成立，这样就扩大了不定积分基本公式的适用范围．通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积分法，上述积分方法中关键是将被积表达式写成的形式，称为凑微分，因此第一类换元积分法又叫做凑微分法．凑微分法是一种最基本的积分方法，下面分两种基本情况介绍．（1）形式为的不定积分（）考虑到，把被积函数中的凑微分，得，令，然后利用最基本积分公式求解． 教师讲授25′
知识巩固例7 求．解 因为，令，则 ．在运算熟练后，中间变量只需记在心里，而不必写出来，例7的具体写法是：．例8 求解 ．例9 求．解 ． 教师讲授 在教师引领下完成40′
新知识（2）形式为的不定积分把被积函数中的凑微分，得，令，然后利用最基本积分公式求解． 教师讲授45′
知识巩固例10 求．解 被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即，所以 ． 例11 求．解 被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即，所以 ．例12 求．解 被积函数中含有和且，因此可以尝试用与凑微分，即 ．所以 ． 教师讲授在教师引领下共同完成60′
新知识一般地，当被积函数中的含有，，，，，，，，等因式时，可以考虑将它们与凑微分，即，，，，，，，，．在求解不定积分问题中，所用到的凑微分绝非只有这些．因此，对遇到的具体问题要认真分析，总结规律，逐步掌握这一积分方法． 在教师引领下共同完成70′
练习3.1.21．用凑微分法求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 学生课上完成90′
2. 不定积分的分部积分法新知识分部积分法是与两个函数乘积的导数运算法则对应的，也是一种基本积分方法．函数，乘积的导数公式是 移项，得 两边同时求不定积分，得 即 （3.2）上述公式称为分部积分公式．它可以将求的积分问题转化为求的积分，当积分较容易求出时，利用分部积分公式起到了化难为易的作用． 教师讲授100′
知识巩固例13 求．分析 用分部积分法求解，怎样选取和呢？我们做下面的尝试．解1 设，，则，．应用分部积分公式，得 ．解2 设，，则，．应用分部积分公式，得 ． （1）式（1）右端的积分比原来的积分更不易求出，说明这样选取、是不合适的． 教师讲授110′
新知识由例13可以看到：(1) 选取和的原则是：容易求得，比原来的积分容易计算．(2) 由求出，实质还是凑微分．因此，使用分部积分公式的一般步骤是： ．运算熟练后，、及、只需记在心里，而不必写出来，例13的具体写法是： ． 教师讲授115′
知识巩固例14 求．解 ．有时需要连续两次凑微分，然后应用分部积分公式进行计算．例15 求．解 ． 有些积分需要连续几次用分部积分公式才能求出．例16 求．解 对于继续用分部积分公式， 上式 ．说明 当被积函数只有一项时，此函数就是，就是，这时不需要凑微分，直接代入分部积分公式即可． 教师讲授在教师引领下共同完成135′
练习3.1.22．用分部积分法求下列不定积分(1) ； (2) ； 学生课上完成150′
链接软件利用高级计算器可以方便的计算不定积分．计算例16操作如下：1．单击不定积分符号，在命令窗口出现符号后，输入被积函数“”；2．单击“输入”，得到计算结果．即 说明 利用高级计算器计算不定积分，其结果可能与我们动手计算在形式上不同，两种结果都是正确的，它们可以互化或只差一个常数． 演示165′
练习3.1.23．用计算器求下列不定积分(1) ； (2) ； 学生课上完成175′
小结 新知识：不定积分的换元积分法（凑微分）和分部积分法。 180′
作业 1.梳理不定积分的凑微分法、分部积分法；2.完成习题册作业3.1.2。

展开更多......

收起↑