资源简介

4.1.1微分方程及其通解与特解
教学目标：
（1）感知并了解微分方程的概念。
（2）理解微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念；
教学重点：
微分方程的基本概念
教学难点：
微分方程的通解、特解等概念的理解。
授课时数： 1课时
教学过程
过程 备注
引言 介绍本章学习的主要内容。 教师讲授5′
知识回顾已知曲线经过点（1，3），曲线上任意点M（x，y）处切线的斜率为2x，求曲线的方程． 设曲线方程为．根据导数的几何意义，有 ． 积分得 ． 其中C是任意常数．由于曲线经过点（1，3），故，解得．所以曲线的方程的方程为 引导学生回答10′
新知识上面的问题中所建立方程的特点是，方程中含有未知函数的导数（或微分），其解是函数．像这样，含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程.未知函数为一元函数的方程叫做常微分方程．本章内只讨论常微分方程．如，，，，．出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶．上述五个方程中，和是二阶微分方程，其余三个是一阶微分方程．如果将一个函数代入微分方程，使其成为恒等式，那么，这个函数叫做这个微分方程的解．由于，故是微分方程的解．但是C是任意常数，表示的不只是一个函数，从几何意义上看， 表示一族抛物线（图4－1）．因为已知曲线过点（1，3），即曲线满足条件．将条件代入中，得到C =2．故微分方程满足条件的解为．实际上，曲线是抛物线族中通过点 的一条（图4－1）．图4－1若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数（如），这样的解叫做微分方程的通解．在通解中，利用给定的条件，确定出任意常数的值的解（如）叫做微分方程的特解，所给定的条件（如）叫做初始条件．一阶微分方程的初始条件一般记成的形式，如．二阶微分方程的初始条件一般记成，的形式． 教师讲授与学生回答相结合25′
知识巩固例1 求微分方程满足初始条件，的特解． 解 将微分方程，两边积分，得， （1）两边再一次积分，得 ． （2） 将初始条件，代入方程（1）和方程（2），得 解得．因此，微分方程满足初始条件的特解为． 说明 型的微分方程，都可以采用方程两边同时积分的手段求解． 教师讲授30′
练习4.1.11.试写出下列各微分方程的阶数.(1)； (2)； (3)； (4)2.求微分方程，，的特解. 学生课上完成42′
小结 新知识：常微分方程的基本概念。 45′
作业 1.复习微分方程的基本概念；2.完成习题册作业4.1.1。

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