资源简介

4.1.2 可分离变量的微分方程
教学目标：
（1）掌握可分离变量微分方程的特点；
（2）会求可分离变量微分方程的通解和特解。
教学重点：
可分离变量微分方程的解法。
教学难点：
可分离变量微分方程的特点。
授课时数： 1课时.
教学过程
过程 备注
探究微分方程可以用方程两边同时积分的手段求解．那么微分方程如何求解呢？ 由于方程右边同时含有x和y，故无法积分，为了达到两边可以两边同时积分的目的，可以把写成的形式，将方程恒等变形为 ．这种变形的作用是分离变量． 教师讲授5′
新知识形如 (4.1)的一阶微分方程叫做可分离变量的微分方程.其中，都是连续函数．这类微分方程可以通过下面的步骤求解（分离变量法）：(1)将方程分离变量；(2)两边积分；(3)分别计算两边的积分，整理化简可以得到微分方程的通解． 教师讲授10′
知识巩固例2 解微分方程.解 分离变量得 ，两边积分得 记，则，所以 即，记则原方程的通解为.说明 （1）微分方程的通解也可以表示为隐函数的形式.如上面的通解可以写作.（2）为了简单起见，在本章中可以直接将写成，将写成，从而省略记的过程；将直接写成，从而省略记的过程.例3 解微分方程，.解 分离变量得 ，两边积分得 ，代入初始条件时，得. 故微分方程的特解为 .例4 解微分方程 .解 分离变量得 ，两边积分得 ．故微分方程的通解为.例5 求微分方程满足初始条件的特解.解 分离变量得 ，两边积分得 .代入初始条件时，得.故满足初始条件的微分方程的特解为 教师讲授 在教师引领下共同完成30′
练习4.1.21.求解微分方程 . 2.求解微分方程 学生课上完成42′
小结 新知识：可分离变量微分方程的特点和解法。 45′
作业 1.梳理可分离变量微分方程的特点和求解过程；2.完成习题册作业4.1.24

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