资源简介

4.3.1二阶常系数线性齐次微分方程
教学目标：
（1）了解二阶常系数线性微分方程及解的结构；
（2）理解二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式，会求二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解。
教学重点：
二阶常系数线性齐次微分方程及其通解。
教学难点：
二阶常系数线性齐次微分方程通解结构的理解。
授课时数：1课时.
教学过程
过程 备注
新知识二阶微分方程比较复杂，我们只研究二阶线性常系数微分方程，即形如 (4.5)和 . (4.6)的方程，其中，均为常数．方程(4.5)叫做二阶常系数线性齐次微分方程；方程(4.6)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程. 在实际应用中，特别是在电学、力学及工程学中，很多实际应用问题的数学模型都是二阶常系数线性微分方程.关于二阶常系数线性微分方程解的结构有如下的三个结论：结论1 若是方程的两个解，则对任意两个常数、，仍是该方程的解.结论2 若是二阶线性齐次方程的两个特解，且不等于常数，则是该方程的通解，其中，，是任意常数.结论3若Y是方程的通解，是的一个特解.则是二阶线性非齐次微分方程的通解. 教师讲授10′
探究由前面的结论1和结论2知道，解微分方程的关键是找到其两个特解和，且不等于常数．考虑到指数函数的各阶导数之间只相差一个常数，方程的解有可能具有指数函数的形式．不妨沿着这个发现做探究．设(是常数)是方程的解，则，，代入方程中，得 ，于是有 . (4.7)如果是方程(4.7)的根，那么函数就是方程的解.这样就建立了微分方程与代数方程之间的关联． 教师讲授与学生回答相结合15′
新知识方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的根叫做特征根.特征方程是关于的一元二次方程.根据特征根的不同情况，可以得到微分方程的相应通解（表4－1）.表4 1 方程的特征根与通解特征方程特征根，方程的通解 [1] ，由此得到，解二阶常系数线性齐次微分方程(其中，均为常数)的步骤为：(1) 写出特征方程；(2) 求出特征方程的两个根，；(3) 根据表（4 1)写出方程的通解. 教师讲授20′
知识巩固例1 解微分方程.解 特征方程为 ，特征根为 ，．故方程的通解为.例2 解微分方程.解 特征方程为 ， 此时判别式 ，故方程没有实数根，利用求根公式有，即特征根为 ，.故方程通解是.例3 求微分方程满足初始条件，的特解.解 特征方程为 ，特征根为 ，故方程通解为． （1）又 ． （2）将初始条件，代入（1）、（2）得，．所以，方程满足初始条件的特解为. 在教师引领下完成30′
练习4.3.11. 求下列微分方程的通解（1）； （2）.2. 求微分方程满足初始条件的特解. 学生课上完成40′
小结新知识：二阶常系数线性微分方程及解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的通解。 45′
作业 1. 梳理4.3.1节知识内容;2. 完成习题册作业4.3.1。
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