资源简介

4.2.2一阶线性非齐次微分方程
教学目标：
（1）记住一阶线性非齐次微分方程的特点；
（2）学会一阶线性非齐次微分方程的解法。
教学重点：
一阶线性非齐次微分方程的解法。
教学难点：
正确区别可分离变量微分方程和一阶线性非齐次微分方程。
授课时数： 1课时.
教学过程
过程 备注
探究下面研究一阶非齐次线性微分方程 （2）的通解.首先求出方程（2）所对应的一阶线性齐次微分方程的通解 .设方程（2）的通解为，其中是x的待定函数，则，于是有 ，即 ，两边积分得 .故所求通解为.因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为. (4.4) 教师讲授10′
新知识探究过程中的解微分方程的方法叫做常数变易法.利用常数变易法解一阶线性非齐次微分方程的步骤是：（1）将方程化成的形式；（2）求出对应齐次方程的通解；（3）设方程的通解为，代入方程，确定．也可以直接应用公式(4.4)求解，这种方法称为应用公式法． 教师总结15′
知识巩固例2 解微分方程.解1 (常数变易法)方程对应的齐次方程是 ，其通解为 .设函数是已知非齐次微分方程的通解，则，代入原方程有，即 .积分得 ，所以微分方程的通解为．解2 (应用公式法)这里，，因此 ，，所以原方程的通解是.例3 解微分方程. .解 应用公式求解，这里，．故 .所以方程的通解为. 例4 求微分方程满足初始条件的解.解 方程可以化为 ．应用公式求解．这里，，故 ．.代入初始条件得.故满足初始条件的特解是. 在教师引领下完成30′
练习4.2.2求解下列微分方程1. ； 2. ； 3. . 学生课上完成42′
小结 新知识：一阶线性非齐次微分方程的特点和解法。 45′
作业 1.分析一阶线性微分方程与可分离变量微分方程的区别;2. 完成习题册作业4.2.2。

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