资源简介

4.3.2二阶常系数线性非齐次微分方程
教学目标：
（1）了解二阶常系数线性非齐次微分方程及解的构成；
（2）学会求、、的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解和通解。
教学重点：
二阶常系数线性非齐次微分方程通解。
教学难点：
根据的不同形式设出二阶常系数线性非齐次微分方程一个特解的过程。
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
1.的情形新知识下面研究微分方程． (4.8)其中是的次多项式，是常数.可以证明，方程（4.8）具有形如的特解，其中是与同次多项式，而的值与有关，如表4-2所示． 表4-2的形式的值特解的形式不是特征根是特征单根是特征双根这样，解微分方程（4.8）的步骤为（1）求出方程的通解；（2）根据表4－2设方程（4.8）特解，代入（4.8）确定，从而得到特解；（3）根据定理3写出方程的通解． 教师讲授10′
知识巩固例4 解微分方程.解对应的齐次方程为，其特征方程为，解得特征根为 ，. 所以的通解为.由于，不是特征根，故设.于是，.代入原方程，整理得.比较两边同次幂的系数得，，即，，因此 .所以原方程的通解为.例5 解微分方程.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为.所以，齐次方程的通解为.由知， ，.由于是特征重根.故设．于是 ，.将，，代入原方程，整理得，比较两边的同次幂系数得 ，，即，.于是 .所以原方程的通解为.例6 求微分方程满足初始条件，的特解.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为，故齐次方程的通解为.这里，.由于不是特征根，故设，于是，.将，，代入原方程得.比较两边的同次幂系数得，，，即，，.于是 .所以原方程的通解为.由初始条件，，得，.所以原方程满足初始条件的特解是. 在教师引领下共同完成30′
2.或的情形新知识可以证明，微分方程或的特解的形式为， （4.9）其中与是同次多项式，的取值与有关，如表4-3所示.表4-3的形式的值特解的形式或不是特征根当是特征根这样，解微分方程（4.9）的步骤为（1）求出方程的通解；（2）根据表4－2设方程（4.9）特解，代入（4.9）确定，与，从而得到特解；（3）根据定理3写出方程的通解． 教师讲授40′
知识巩固例7 解微分方程.解 对应的齐次方程为，其特征方程为.解得特征根为，，故.因为，，即不是特征根，所以.因此设微分方程的特解，于是，，代入原方程得.比较上式两边同类项的系数，得解得，故原微分方程的一个特解.所以原微分方程的通解为.例8 求微分方程的通解.解 对应的齐次方程为，其特征方程，解得特征根.故对应的齐次方程的通解，这里不是特征方程的特征根，所以，设该微分方程的特解为 ，于是， ，，代入原方程,得 ,比较上式两边同类项的系数，得 解得， ， ， ．这里原微分方程的一个特解为，所以原微分方程的通解为 在教师引领下共同完成55′
链接软件软件matlab广泛应用于工程技术中的各种微分方程求解问题．解常微分方程经常使用的命令是“s=dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…,’初始条件1’，’初始条件2’ …,’自变量’) ，详见实验4. 利用软件解例9的步骤为 输入：>>s=dsolve('D2y+y=x*cos(2*x)','x') %解微分方程 显示：s=sin(x)*C2+cos(x)*C1+4/9*sin(2*x)-1/3*x*cos(2*x)．即． 教师讲授65′
练习4.3.2解下列微分方程.(1)； （2）． 在教师引领下完成85′
小结 新知识：两种常见的二阶常系数非齐次线性微分方程的通解和特解。 90′
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成习题册作业4.3.2。

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