资源简介

4.4微分方程的应用
教学目标：
了解微分方程解在简单实际问题中的应用。
教学重点：
微分方程解在物理问题中的应用。
教学难点：
微分方程的建立。
授课时数： 1课时.
教学过程
过程 备注
新知识自然现象与工程技术中的许多问题的研究，往往归结为求解微分方程的问题．本节将通过具体实例，介绍微分方程在实际中的应用．应用微分方程解决具体问题的步骤是：(1) 分析问题，建立微分方程并确定初始条件；(2) 求出微分方程的通解；(3) 根初始条件确定特解． 教师讲授5′
知识巩固例1 一个物体以初速度v0垂直上抛，设物体的运动只受重力影响.试确定该物体运动的路程s与时间t函数关系.解 因为物体运动的加速度是路程s对时间t的二阶导数，故由牛顿第二定律有 ，即，两边积分得 ，即．再一次积分得 +（其中为任意常数）．如果物体开始上抛时的路程为，则依题意有，，代入上式得．故++即为所求函数关系.例2 如图4-2所示，过曲线上任意一点（）作垂直于轴，垂直于轴，作曲线的切线交轴于点（设切线的斜率大于零），当矩形与三角形有相同的面积时，求曲线的方程.解 设曲线的方程为.因为，，所以 ，即， 图4－2解得曲线的方程（C为任意常数）.例3 如图4 3所示，垂直挂着的弹簧，下端系着一个质量为的重物，弹簧被拉伸后处于平衡状态，现用力将重物向下拉，松开手后，弹簧就会上、下震动，不计阻力，求重物的位置随时间变化的函数关系.解 设平衡位置为坐标原点，重物在时刻离开平衡位置为，重物所受弹簧的恢复力为，由力学知识可知，与成正比，即 其中．根据牛顿第二定律，得 ，所以 ，设，则方程化为 ，其中特征方程为． 图4－3所以，特征根为，故重物的位置随时间变化的函数关系，即方程通解为 ．例4 放射性元素铀由于不断地由原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的质量就不断减少，这种现象叫做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的质量成正比.已知当时，铀的质量为.求在衰变过程中，铀质量随时间变化的规律.解 铀的衰变速度就是对时间的导数，由于铀的衰变速度与其质量成正比，故得微分方程，其中是常数，叫做衰变系数.前的负号是由于当增加时单调减少，故<0,由题意知初始条件为.分离变量得 ，两边积分得 ，所以 .又因为，所以，即.这就是所求铀的衰变规律.可见，铀的质量是随时间的增加而呈指数规律衰变. 在教师引领下完成30′
练习4.4 1. 某电机运转后，每秒温度升高1℃，设室内温度恒为15℃，电机温度的冷却速度和电机与室内温度之差成正比．求电机温度与时间的函数关系． 2.设弹簧的上端固定，有两个相同的重物寡欲弹簧的下端，使弹簧伸长了2.现突然去掉其中的一个重物，是弹簧由静止状态开始振动，求所挂重物的运动规律． 学生课上完成42′
小结 新知识：微分方程的应用 45′
作业 完成习题册作业4.4。

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