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5.5.1常见的二次曲面及其方程
教学目标：
（1）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面
（2）认识几种常见的母线平行于坐标轴的柱面及方程；
（3）会求球面的方程。
教学重点：
（1）曲面方程的概念，球面方程的求法；
（2）以坐标轴为旋转轴的旋转曲面；
（3）几种常见的母线平行于坐标轴的柱面及方程。
教学难点：
旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等概念的理解。
授课时数：3课时.
教学过程
过程 备注
实例日常生活中我们经常会看到一些曲面．如图5—25所示：大家熟悉的吃饭用的碗、卫星接收天线、太阳能灶、煮汤的锅、发电厂的散热塔、国家大剧院的屋顶等．这些曲面是怎么设计出来的？它们有哪些数学特征？这就是下面要研究的问题． （1） （2） （3） （4） （5） （6）图5－25 教师演示5′
新知识任何曲面都可以看作点的轨迹．如果空间曲面上任意一点的坐标都满足方程，而满足的值都在曲面上，则称为曲面的方程，称曲面为方程的图形．若方程是二次方程，则所表示的曲面称为二次曲面．我们主要研究几种常见的二次曲面．1．球面 在空间中，到定点的距离为定长的点的轨迹为球面．其中定点称为球心，定长称为半径．设点为球心，为半径，为球面上任意一点（如图5—26），则由，得于是得到球面方程为． （5．25） 特别地，当球心在原点，半径为时，球面方程为． 教师讲授15′
知识巩固例1 已知点、，求以线段为直径的球面方程．解 球心为线段的中点，故其坐标为．半径为．所以，球面方程为 ．例2 判别方程表示怎样的曲面？解 将原方程配方整理，得 ． 这是球面方程，表示球心在，半径为的球面． 教师引领下共同完成25′
链接软件利用微软高级计算器可以画出球面．输入例2的方程，可以得到其表示的球面图形（图5－27）．图5－27 演示30′
2．母线平行于坐标轴的柱面 新知识将一直线沿某一给定的平面曲线平行移动，直线的轨迹形成的曲面，称为柱面．其中，动直线称为柱面的母线，曲线称为柱面的准线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设柱面的准线是面上的曲线，柱面的母线平行于轴，在柱面上任取一点，过点做平行于轴的直线，交曲线于点（如图5—28）．故点的坐标满足方程，由于方程不含变量，而点与有相同的横坐标与纵坐标，所以点的坐标也满足此方程，因此，方程就是母线平行于轴的柱面方程．例如，方程表示母线平行于轴，在面上的准线为的柱面（平面）方程，如图5—29所示．可以看出，母线平行于轴的柱面的方程中不含变量．同理，不含的方程或不含的方程，分别表示母线平行于轴或轴的柱面方程．方程表示母线平行于轴，准线为平面上的圆的柱面方程．此柱面称为圆柱面（如图5—30）；方程表示母线平行于轴，准线为平面上的椭圆的柱面方程．称为椭圆柱面（如图5—31）；方程表示母线平行于轴，准线为平面上的抛物线的柱面方程．称为抛物柱面（如图5—32）． 下面将几种常见的柱面及方程（以母线平行于轴为例）列表如下．表 5．2名称圆柱面椭圆柱面抛物柱面双曲柱面准线柱面图象 动画演示柱面的形成教师讲授50′
练习5.5.1.11．指出下列方程所表示的曲面名称及其主要特征：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．2．求到点距离为2的点的轨迹．3．利用微软高级计算器画出第1题中的6个方程所表示的曲面．4．利用微软高级计算器画出方程所表示的曲面（此曲面称为双曲抛物面，俗称“马鞍面”）． 在教师提示下完成65′
3．旋转曲面新知识平面内曲线绕该平面内某定直线旋转所形成的曲面，称为旋转曲面（图5—33）．其中，动曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的旋转轴． 图5－33某一个坐标平面内曲线可以用一个方程组来表示．例如面上的曲线，表示为我们仅讨论以坐标轴为旋转轴的旋转曲面． 将面上的曲线C：绕轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面（图5－33）．设为曲线C上的任一点，则． （1）当曲线C绕轴旋转时，点绕轴旋转到点，这时保持不变，且点M到z轴的距离．将，代入方程（1），得到曲线C：绕轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为 ． （5.27）同样可以得到，将面上的曲线绕轴旋转一周，所就得旋转曲面的方程为 ． （5.28）将面上的曲线绕轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为 ． （5.29） 一般地，坐标平面内的曲线绕哪个轴旋转，曲线方程中对应的变量保持不变，而另一个变量用其余两个变量的平方和的平方根代换，即得该旋转面的方程．例如，将半圆绕轴旋转一周，所得旋转曲面为球面（图5—34）的方程为，即 ． 前面学过，此方程即为球面方程，它表示球心在，半径为的球面．同理，面上的椭圆：绕轴旋转一周，所得旋转曲面为旋转椭球面（图5－35），其方程为 ．注意 旋转椭球面不是“椭球面”，因为此图形在空间中，用于平面平行的平面去截，解得的图形是圆．椭球面是用平行于坐标面的平面去截，截得的图形都是椭圆，其方程为． 动画演示旋转曲面的形成教师讲授85′
知识巩固例3 求曲线绕轴旋转一周，所得旋转面的方程．解 曲线是坐标平面内的一条抛物线，绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为 ，即 ．这个旋转曲面称为旋转抛物面（如图5—36）． 图5－36例4 求双曲线绕轴旋转一周，所得旋转面的方程．解 曲线是坐标平面内的一条双曲线，绕轴旋转一周，所得旋转面方程为 ，即 ．此旋转面称为（单叶）旋转双曲面． 在教师引领下共同完成95′
新知识下面将旋转轴为轴的常见几种旋转曲面及方程列表如下（表5．3）．表 5．3名称旋转椭圆面旋转双曲面旋转抛物面圆锥面母线，方程，，，图象 教师讲授105′
链接软件利用微软高级计算器（或matlab软件详见实验5）可以方便的绘制二次曲面． 输入旋转双曲面方程，得到空间曲面图形（图5－37）． 图5－37 演示110′
练习5.5.1.21．求抛物线绕轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称．2．求椭圆绕轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称．3．求双曲线分别绕、轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称．4．求直线分别绕、轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称．5．利用微软高级计算器画出以上4题所求的曲面． 学生课上完成130′
小结新知识：曲面方程的概念，球面方程的求法，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及方程，几种常见的母线平行于坐标轴的柱面及方程。
作业 完成习题册作业5.5.1。 135′
图 5—26
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图 5—29
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图 5—28
图 5—32
图 5—30
图 5—31
图 5—35
图 5—34

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