资源简介

6.1.1 二元函数的概念
教学目标：
（1）了解二元函数及其极限与连续的概念；
（2）会求二元函数的定义域；
（3）了解简单的二元函数的极限。
教学重点：
（1）二元函数的概念及几何意义；
（2）二元函数的定义域及其求法。
教学难点：
二元函数及其极限与连续的概念。
授课时数： 2课时
教学过程
过程 备注
引言 介绍本章学习的主要内容。 教师讲授3′
1.二元函数知识回顾在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数，记作．其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫这个函数的定义域． 引导学生回答8′
新知识设是平面上的一个非空点集，如果对于内的任意的点，按照某个法则，有唯一确定的实数与之对应，则称z是的二元函数，记作（或）．为自变量，z为因变量，点集D叫做函数的定义域．例如，函数的定义域为．设点是平面上一点，是某一正数，点集称为点的邻域，记为，即其中，称为邻域中心，称为邻域半径．不特别强调邻域的半径时，可以将简记作．不包含邻域中心的邻域叫做去心邻域，记作．在几何上，邻域就是平面上以点为圆心、为半径的圆的内部．由平面上的一条曲线或几条曲线所围成的部分（平面点集）称为平面区域．常用表示，围成区域的曲线叫做区域的边界．包含边界的区域称为闭区域，不包含边界的区域称为开区域．二元函数的定义域是平面区域．例如，是闭区域（图（1）），是开区域（图6－2（2））． 图6－2 教师讲授20′
知识巩固例1 求二元函数的定义域．解　要使函数有意义，需．因此，得到函数的定义域为，用图形表示为直线上方的半平面（图6－3）． 图6－3例2 求二元函数的定义域．解 要使函数有意义需 ，即，由于自变量y没有任何约束条件，即．故二元函数的定义域为． 用图形表示为直线之间的区域（图6－4）． 在教师引领下共同完成30′
新知识与一元函数类似，取定义域D中的点时，对应的数值叫做函数在点处的函数值，记为， ，或.集合叫做函数的值域． 教师讲授35′
知识巩固例3 设，求、．解 ， ． 在教师引领下共同完成40′
新知识二元函数的几何意义是一张空间曲面，其定义域是曲面在平面上的投影．例如，二元函数表示旋转抛物面；二元函数表示上半球面． 教师讲授45′
软件连接利用高级计算器（或matlab软件）可以方便地绘制二元函数的图像．在绘图选项卡中输入可以得到上半球面（图6－5）．图6－5 教师演示50′
2.二元函数的极限与连续知识回顾一元函数中，由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成，并且能用一个式子来表示的函数叫做初等函数． 设在点近旁有意义（在点可以没有定义），如果当时，的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数当时的极限，记作或）．设函数在及其近旁有定义，且，则函数在点处连续，点叫做函数的连续点．初等函数在其定义区间内都是连续函数，且． 引导学生回答56′
探究 作出二元函数的图像，当平面的点点沿着不同的路径无限趋近于原点时，观察二元函数值变化趋势，发现是无限趋近于0（图6－6）．图6－6 教师讲授演示60′
新知识设函数在点的某邻域内有定义（在点处可以没有定义）．为该邻域内任意一点，若当点沿任意路径趋近于时，的值无限趋近于一个确定的常数，则常数叫做函数当时的极限，记为 或．也可记作 或 当时，．一元函数的极限中，的途径只能是在数轴上．而二元函数，的途径是沿着平面中的任意路径，因此情况要复杂的多．设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续．而点叫做函数的连续点．否则称函数在点处不连续或间断，称点为的不连续点或间断点．如果函数在平面区域内每一点都连续，则称在区域内连续．与一元函数相类似，由常数及两个不同的自变量的二元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成，并且能用一个式子来表示的函数叫做二元初等函数．二元初等函数在其定义域内都是连续函数．因此，对以定义域中的任意点有． 教师讲授70′
知识巩固例4 计算极限．解 二元函数是初等函数，所以． 在教师引领下共同完成75′
练习6.1.11.设，求，．2.已知，求．3.求下列函数的的定义域 （1）； （2）． 4.计算下列极限(1) ； (2) ． 学生课上完成87′
小结 新知识：二元函数及其极限与连续等概念。
作业 1. 通过对比一元函数相应的概念，复习二元函数及其极限与连续等概念，加深对其内涵的理解。2.完成习题册作业6.1.1。 90′
（2）
（1）
图6－4

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