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6.1.4二元函数的极值
教学目标：
（1）理解二元函数极值的概念；
（2）学会求二元函数的极值；
（2）会求解一些较简单的最大最小值的应用问题。
教学重点：
二元函数极值的概念及其计算。
教学难点：
二元函数最大最小值的应用问题。
授课时数：3课时.
教学过程
过程 备注
探究观察二元函数的图像，点是开口向上的椭圆抛物面的顶点（图6－9）．函数的定义域为面内的平面点集．在面内，点对应的函数值为，点任一邻域内异于的点，其函数值都大于．所以，点的函数值比其周围近旁点的函数值都小，是函数的极小值． 教师讲授10′
新知识一般地，设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点如果都满足不等式，则称函数在点有极大值；如果满足不等式，则称函数在点有极小值．极大值和极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．例如，函数在点处有极大值，因为在点附近任意的，都有 从几何上看是显然的，函数的图形是上半球面，而点是球面的最高点（图6－10）．可以证明，若函数在点可微，且在点处有极值，则在该点的偏导数必然为零．即， ．与一元函数类似，使，同时成立的点称为函数的驻点．从上面可知，可微函数的极值点一定是驻点．反之，函数的驻点不一定是极值点．如何判定一个驻点是否是极值点呢？通常依据下面的结论． 设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，，令，，．则在点处的极值情况如下：（1）当时取得极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）当时没有极值；（3）当时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．由此得到求函数的极值的一般步骤为：（1） 解方程组；求得一切实数解，即求得一切驻点；（2） 对于每个驻点，求出二阶偏导数的值、和；（3） 求出，按极值存在的充分条件判定是否为极值，是极大值还是极小值． 教师讲授30′
知识巩固例12 求函数的极值．解 ，．解方程组 求得驻点为和．因为 ，，．列表判定如下结论0－30不是极值点6－36极小值点即函数在点取得极小值，且极小值为．例13 求函数的极值．解 ，解方程组 得驻点为和．因为 ，，．列表判定如下结论不是极值点极小值点即函数在点处取得极小值，且极小值为． 在教师引领下完成50′
练习6.1.41. 求下列函数的极值．（1）； （2）； 学生课上完成75′
新知识实际问题中的二元函数极值问题比较复杂，如果根据问题的性质特点，知道其最大值（或最小值）一定在定义域的内部取得，并且函数在定义域内只有一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数在上的最大值（或最小值）． 教师讲授85′
知识巩固例14 本章开始的问题：要做一个容积为32立方米的长方体的无盖水箱，如何设计，才能用材料最省？解 设底面长为米，宽为米，则高为米，于是所用材料的面积为 ，则 ， 解方程组 得唯一驻点．由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最小值一定存在，故这唯一的驻点就是最小值点．所以当长、宽都为米，高为米时，用料最省． 在教师引领下完成100′
练习6.1.42. 建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？ 学生课上完成130′
小结 新知识：二元函数极值的概念及其计算，求解较简单的二元函数最大最小值的应用问题。
作业 1. 梳理求二元函数极值和最大最小值应用问题的方法及步骤。2. 完成习题册作业6.1.4。 135′
图6－9
图6－10

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