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6.2.2二重积分的计算
教学目标：
（1）学会将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法；
（2）掌握直角坐标系下二重积分的计算。
教学重点：
直角坐标系下二重积分的计算。
教学难点：
将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法。
授课时数： 4课时.
教学过程
过程 备注
知识回顾牛顿——莱布尼兹公式（其中）将定积分转化为不定积分来计算． 提问2′
新知识二重积分计算可以转化为两次定积分进行计算，这种方法称为二次积分（或累次积分）．由二重积分的概念可知，如果二重积分存在，它的值与区域的分法无关，其面积元素象征着和式极限中的．在直角坐标系下，我们可以采用便于计算的分割方法：用与坐标轴平行的两组直线把划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（图6－15所示），于是，小矩形的面积，因此在直角坐标系下，面积元素为．于是二重积分可写成．图6－15下面根据二重积分的几何意义，结合积分区域的种形状特点，介绍二重积分的计算方法．1. 积分区域为型域积分区域为：，，称为型域（或上下结构），其中函数，在上连续（图6－16所示）．不妨设，由二重积分的几何意义知，表示以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积（图6－17（2））． （1） （2）图6－17选取为积分变量，在上任取一个小区间,设表示过点且垂直于轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，得曲顶柱体体积的微元为 ，所以 ．又因为截面是以区间为底，以曲线（是固定的）为曲边的曲边梯形，所以 ． 于是 ．上式右端是一个先对、再对的二次积分（累次积分）．就是说，先把看作常数，把只看作的函数，并对计算从到的定积分，然后把所得的结果（是的函数）再对计算从到的定积分．这个先对、再对的二次积分常记作.因此将二重积分化为先对，再对的二次积分的计算公式写作．在上述讨论中，我们假定了．但实际上公式的成立并不受此条件限制． 教师讲授20′
知识巩固例2 计算二重积分，其中为矩形区域：，．解 矩形区域是型域，（图6－18所示），所以，选取先对积分，后对积分的顺序．即． 图6－18 教师讲授30′
新知识2. 积分区域为型域积分区域为：，，称为型域（或左右结构），其中函数，在区间上连续（图6－19所示）． 仿照“型域”的计算方法，有“型域”的计算方法．这就是把二重积分化为先对、再对的二次积分的公式．注意 如果积分区域不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将分割，使其各部分符合第一种类型或第二种类型． 教师讲授35′
知识巩固例3 计算二重积分，其中为矩形区域：，．解 矩形区域既是型域，也是型域（图6－20）．我们选择先对积分，后对积分的顺序．．例4 计算积分，其中为矩形区域：， ．解 矩形区域既是型域，也是型域（图6－21）．我们选择先对积分． ．例5 计算二重积分，其中是由直线，及双曲线所围成的区域．解 直线与双曲线在第一象限的交点为（图6－22）．我们选择先对后对积分．积分区域表示为，． 于是．当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，即先对后对积分．但必须把积分区域划分成两个区域，分别表示为：，， ：，．此时有．例6 计算二重积分，其中是抛物线，直线所围成．解 画出积分区域的图形（图6－23所示），解方程组得抛物线和直线的两个交点 ，．选择先对积分，后对积分，则积分区域表示为：，．当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，但必须把积分区域划分成两个区域．从上面两例可以看出，积分次序的选择直接影响着二重积分计算的繁简程度．显然，积分次序的选择与积分区域有关． 例7 计算，其中是由直线，，围成的．解 画出积分区域的图形（图6－24）．选择先积分，后对积分．积分区域表示为，，． 在教师引领下共同完成教师讲授教师讲授师生共同完成100′
练习6.2.21. 将二重积分化为二次积分：（1）：，；（2）是由，，所围成；2. 计算下列二重积分：（1），：，；（2），是由抛物线与直线所围成； 学生课上完成140′
知识巩固例8 交换下列二次积分的积分顺序：（1）； （2）．解 根据所给二次积分画出积分区域，再按另一种积分顺序写出二次积分．（1）积分区域为：，（轴），及所围成的图形（图6－25），于是 ．（2） 积分区域为：，，所围图形（图6－26）．于是． 教师讲授155′
练习6.2.23. 交换下列积分的积分顺序：（1）；（2）；4. 利用二重积分计算由抛物线和直线所围成图形的面积． 学生课上完成170′
软件连接利用微软高级计算器可以通过计算两次定积来完成二重积分的计算． 教师演示175′
小结 新知识：将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法，直角坐标系下二重积分的计算。
作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成习题册作业6.2.2。 180′
图6－16
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图6－22
图6－23
图6－24
图6－25
图6－26

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