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7.1.2 幂级数
教学目标：
（1）记住幂级数的一般形式及相关概念；
（2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。
教学重点：
（1）幂级数的一般形式及相关概念；
（2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。
教学难点：
幂级数概念的理解。
授课时数： 1课时.
教学过程
过程 备注
探究下面研究函数项级数．观察等比级数.级数的部分和为 ，所以 因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散. 提问5′
新知识形如的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）.当时，上述的幂级数成为． 可以看到，等比级数是幂级数.使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为.函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收敛域内，函数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数，记作.即=.例如幂级数的和函数为，即=，. 教师讲 授12′
知识巩固例4 求幂级数的收敛域与和函数.解 该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为.根据上面的讨论，当，即时，级数收敛．并且.故级数的收敛域为，和函数为.即，. 教师讲授17′
新知识幂级数的收敛性一般有以下三种情形：（1） 仅在点x＝0处收敛，（2） 在（ ∞，＋∞）内处处收敛，（3） 存在一个正数R，当|x|R时发散．称正数R为级数的收敛半径，区间叫做收敛区间．经常使用下面的方法进行判定：对于幂级数，设an≠0，如果＝ρ，那么（1）当0＜ρ＜＋∞时，收敛半径R＝；（2）当ρ＝0时，收敛半径R＝＋∞；（3）当ρ＝＋∞时，收敛半径R＝0． 教师讲授25′
知识巩固例5 求幂级数的收敛半径及收敛区间．解 由于an＝，an+1＝，因此＝＝＝1＝ρ．则收敛半径R＝＝1，收敛区间为（－1，1）．例6 求幂级数的收敛区间.解 令，于是原幂级数变为. .所以 .由，即得．故幂级数的收敛区间.说明 求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛．如本题中，级数在x＝－1处收敛，在x＝1处发散，因此级数的收敛域是[－1，1）．在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成． 教师引领学生完 成33′
链接软件利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7. 例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：clearsyms xf=sin(x);taylor(f)显示：f = sin(x) ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5即 ． 演示37′
练习7.1.21. 求下列幂级数的收敛区间与和函数．2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（1）；（2）. 学生课上完成43′
小结 新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。
作业 1.记忆幂级数的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。2.完成习题册作业7.1.2。 45′

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