资源简介

7.2.1周期为2π的函数展开为傅里叶级数
教学目标：
（1）了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件；
（2）学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学重点：
将周期为的函数展开为傅里叶级数。
教学难点：
傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。
授课时数： 2课时.
教学过程
过程 备注
新知识设是一个以为周期的函数，且能展开成级数，即． 叫做函数的傅立叶级数，其中 ， ， （7.1） . 系数叫做函数的傅立叶系数.设是以为周期的函数，如果函数在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点 [1] ，并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数收敛，并且(1)当是的连续点时，级数收敛于；(2)当是的间断点时，级数收敛于.实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能展开为傅立叶级数. 教师讲授10′
知识巩固例1 设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解 计算傅立叶系数：， .因此得到的傅立叶级数为在函数的间断点处，它的收敛于.所以展开为傅立叶级数（，）和函数的图像如图7-1所示.图7－1说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数展开为傅立叶级数，不再讨论间断点处的收敛情况.例2 设是以为周期的函数，它在上的表示式为 ，将展开为傅立叶级数.解 因为，， .所以的傅立叶级数为. 教师讲授在教师引领下完成35′
新知识如果是周期为的奇函数,那么它的傅立叶系数中，，，.于是的展开为傅立叶级数 傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数.如果是的偶函数,那么它的傅立叶系数中，，，，于是的展开为傅立叶级数傅立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数. 首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利． 教师讲授45′
知识巩固例3 设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解 因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数， ，.所以的傅立叶级数为 ． 在教师引领下完成55′
练习7.2.1 1.设是周期为的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.2.设是周期为的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数. 学生课上完成85′
小结新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为的函数展开为傅里叶级数。
作业1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为的函数展开为傅里叶级数的步骤。2.完成习题册作业7.2.1。 90′
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