资源简介

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分课时教学设计
第一课时《1.3.2解直角三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学习解直角三角形之后，结合已学过的勾股定理，利用解直角三角形解坡度、坡角等问题，旨在进一步梳理解直角三角形的方法，并通过例题展示利用解直角三角形知识解决与直角三角形有关的一些边角计算问题.
学习者分析 学习本节课之前，学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)和边角关系(锐角三角函数).在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1．经历将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决的探索过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用． 2．会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决．
教学重点 用解直角三角形有关知识解决坡度问题
教学难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 在修路、筑坝、开渠和挖河时，常会遇到修筑斜坡的问题. 学生活动1： 学生思考，认识斜坡问题。活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.学生活动2： 老师讲解，学生通过图理解坡度，坡角问题. 活动意图说明：通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。环节三：典例精析教师活动3： 例1、水库堤坝的横断面是梯形(如下图).测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1:2.5，斜坡AB的坡比为1:3.求: (1)斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽(角度精确到1′，宽度精确到0.1m). (2)若堤坝长150m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)？ 解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足. 在Rt△CFD中，tanD===0.4， ∴∠D≈21°48′. ∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28(m)， DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71(m). ∵=， ∴AE=3BE=3CF=66.84(m)， ∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71 =128.55≈128.6(m). (2)横断面的面积S=(BC+AD)×CF =(6+128.55)×22.28 ≈1498.9(m2)， 需要土石方V=Sl=1498.9×150=224835(m ). 答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m， 建造这个大坝需用土石方约为224835 m . 例2、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？ 解：如图，连结AB. 由题意，得=45m，OB=36.3m. 设∠AOB=n°， 由弧长公式l=，可以得到 n==. 作OC⊥AB于点C. ∵ OA=OB，∴AC=BC，∠AOC=∠AOB=n°. ∴ AB=2AC=2OAsin∠AOC =2×36.3×sin()°≈42.2(m). 答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m. 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案.学生活动3： 学生通过计算给出答案，教师通过多媒体展示具体求解过程活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
板书设计 1、 坡角、坡度(或坡比)： 坡面与水平线的夹角(α)叫做坡角，坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比)，i=tanα=. 2、 用解直角三角形解决某些简单的实际问题： 一是要把实际问题转化为数学模型； 二是坡度问题常构造以斜坡为斜边的直角三角形来解决.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　） A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米 2．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________米(参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)． 3．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根5 m的杆子AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE＝0.8 m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝2 m，则石坝的坡度为(　　) A．1∶5　　B．4∶1　　C．1∶4　　D．1∶0.5 选做题： 4.为了防洪，计划将长为1000m的一堤面加宽1.5m，背水坡坡度由原来的1:1 改为1:2，已知原背水坡坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方. 【综合拓展类作业】 5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：． （1）求新坡面的坡角a； （2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ) 9m B. 6m C. m D. 3m 2.某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310m，则此人的垂直高度增加了____________m . 选做题 3.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 20米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．则BC= ． 【综合拓展类作业】 4．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)
教学反思 在以后的教学中，讲解不宜太多，但是更多的是建立在学生的思维基础上，所以需要给他们留较多的时间。讲的太多反而得不到效果。应该注重适当的提问，把注意力集中在学生的思维上，提高学生的思维品质。在课堂上将努力做到让沉闷的课堂教学鲜活起来，让课堂真正成为数学活动的场所，成为讨论交流的学堂，成为学生展示自我的舞台!
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1.3.2解直角三角形
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1．经历将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决的探索过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用．
2．会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决．
新知导入
在修路、筑坝、开渠和挖河时，常会遇到修筑斜坡的问题.
新知讲解
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要明斜坡的倾斜程度.
h
l
铅垂高度
l水平长度
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i = tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
典例精析
例1、水库堤坝的横断面是梯形(如下图).测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1:2.5，斜坡AB的坡比为1:3.求:
(1)斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽(角度精确到1′，宽度精确到0.1m).
(2)若堤坝长150m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)？
C
B
D
A
1:3
1:2.5
典例精析
解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足.
F
E
C
B
D
A
1:3
1:2.5
在Rt△CFD中，tanD===0.4，
∴∠D≈21°48′.
∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28(m)，
DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71(m).
∵=，
∴AE=3BE=3CF=66.84(m)，
∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71
=128.55≈128.6(m).
典例精析
(2)横断面的面积S=(BC+AD)×CF
=(6+128.55)×22.28
≈1498.9(m2)，
需要土石方V=Sl=1498.9×150=224835(m ).
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，
建造这个大坝需用土石方约为224835 m .
C
B
E
F
D
A
1:3
1:2.5
归纳总结
有关坡度问题常过斜坡的顶点作垂线构造以斜坡为斜边的直角三角形.如本例题通过作出两条高，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形来求解.
典例精析
例2、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？
典例精析
解：如图，连结AB.
由题意，得=45m，OB=36.3m.
设∠AOB=n°，
由弧长公式l=，可以得到
n==.
作OC⊥AB于点C.
∵ OA=OB，∴AC=BC，∠AOC=∠AOB=n°.
典例精析
∴ AB=2AC=2OAsin∠AOC
=2×36.3×sin()°≈42.2(m).
答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m.
归纳总结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）
A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米
2．如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________米(参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)．
B
1.02
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根5 m的杆子AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE＝0.8 m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝2 m，则石坝的坡度为(　　)
A．1∶5　　B．4∶1　　C．1∶4　　D．1∶0.5
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.为了防洪，计划将长为1000m的一堤面加宽1.5m，背水坡坡度由原来的1:1 改为1:2，已知原背水坡坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵DM:AM=1:1，∴∠DAM=45°，△ADM为等腰三角形，
∵AD=8，∴DM=AM=4
又∵CD//AB
∴EN=DM=,DE=MN=1.5
在Rt△FNE中，EN:FN=1:2，
∴FN=2EN=
∴FA=FN+NM-AM=8
M
N
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
∴，
∴
M
N
答：完成这一工程需24508m3的土方．
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）∵新坡面的坡度为1:，
∴tanα=tan∠CAB=
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角α为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1: ,
∴BD=CD=6，AD=6
∴AB=AD-BD=
∴文化墙PM不需要拆除．
课堂总结
解直角三角形
坡度问题
用解直角三角形解决某些简单的实际问题
坡角
坡度(或坡比)
板书设计
1、 坡角、坡度(或坡比)：
坡面与水平线的夹角(α)叫做坡角，坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比)，i=tanα=.
2、 用解直角三角形解决某些简单的实际问题：
一是要把实际问题转化为数学模型；
二是坡度问题常构造以斜坡为斜边的直角三角形来解决.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：


如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 ( )
9m B. 6m C. m D. 3m
2.某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310m，则此人的垂直高度增加了____________m .
A
C
B
B
310
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 20米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．则BC= ．
A
C
B
D
作业布置
【综合拓展类作业】
4．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图①所示的坡路进行改造．如图②所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)
作业布置
【综合拓展类作业】
解：在Rt△ABE中，
∵tan ∠ABE＝1∶，
∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100米．
∴CE＝AE－AC＝100－20＝80(米).
在Rt△CDE中，
∵tan D＝1∶4，
∴DE＝4CE＝320米，
∴CD＝＝80米．
答：斜坡CD的长是80米
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材先从测量入手，给学生创设学习情境, 接着研究直角三角形的边角关系——勾股定理及锐角三角函数，最后运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决些简单的实际问题.
学情分析 学生目前已经上到九年级，进行九年级相关知识的学习，对于函数的内容，学生在七八年级时已经学习过一次函数，对函数的相关概念已经有了一定的认识，对于锐角三角函数,学生单从名词来说，并不是很容易理解，因此，在教学的过程中，学生对直角三角形中角和边的关系能够理解，但是涉及到角的变化和相应边之间比值的变化之间是函数关系并不是很容易的理解。
单元目标 教学目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比，知道30°、 45°、 60°角的三角函数值;2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它对应的锐角3、理解并掌握直角三角形边角之间的关系4、能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题(二)教学重点、难点教学重点：锐角三角比的概念及解直角三角形的基本类型和方法。教学难点:正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架

（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1锐角三角函数21.2锐角三角函数的计算11.3解直角三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比；2.知道30°、 45°、 60°角的三角函数值；3.了解直角三角形中的边与三角函数值的关系。学生能够理解锐角三角函数的概念，知道特殊角的三角函数值，知道直角三角形边角关系任务1.认识三角函数任务2.探究特殊角的三角函数值，理解直角三角形边角关系 任务3.出示例题1.2锐角三角函数的计算1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.掌握用科学计算器求锐角的三角函数值的步骤.3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.会用计算器求锐角三角函数值任务1：认识计算器任务2.探究用计算器求锐角三角函数值的步骤任务3.出示例题1.3解直角三角形1、进一步巩固解直角三角形；2、会用常见添辅助线方法构造直角三角形解决问题；3、体验用数学知识解决实际问题；4、渗透、培养学生将计算器用于解决实际问题的能力。会解直角三角形；能将实际问题转化成数学问题用解直角三角形来解决。任务1.出示问题 任务2.利用锐角三角函数解决实际问题任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究锐角三角函数的定义
解直角三角形
1.3.3解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究方向角问题解决实际问题
活动1：复习引入本节课
1.3.2解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究将实际问题转化成数学问题解直角三角形
活动1：引入课题
1.3.1解直角三角形
活动3：例题
活动2：通过探究解直角三角形
活动1：引入课题
1.2锐角三角函数的计算
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：会用计算器计算三角函数值
1.1.2锐角三角函数
活动3：例题
活动2：探究特殊角的三角函数值
活动1：引入课题
1.1.1锐角三角函数
活动3：例题
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