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15.3　分式方程
1.理解分式方程的概念及意义和产生增根的原因.
2.掌握分式方程的解法.
3.利用分式方程解决生活中的实际问题.
在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
【重点】　可化为一元一次方程的分式方程的解法.
【难点】　利用分式方程解决生活中的实际问题.
第课时　
1.使学生理解分式方程的意义.
2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.
3.理解并掌握分式方程的解的检验方法.
1.能将实际问题中的相等数量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用.
2.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻求解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
【重点】　解分式方程的基本思想和解法.
【难点】　如何将分式方程转化成整式方程.
【教师准备】　多媒体课件(1~6).
【学生准备】　复习一元一次方程的有关知识.
导入一:
【课件1】　西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢
三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:=1;猪八戒:=1;沙和尚:2=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗
同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗 该如何解呢
[设计意图]　创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.
导入二:
【课件2】　某公司打字员小刚为了提高打字速度,决定到某电脑培训班培训,半个月后,打字效率相当于原来的3倍.现在打80字所用的时间比原来少用100秒.则小刚现在每分钟能打多少个字 如果设小刚现在每分钟打x个字,你能列出方程吗 你列出的这个方程和我们学过的一元一次方程有什么不同 你会解这个方程吗 快跟我来吧,学了本节后问题就迎刃而解了.
学生思考讨论,教师一步一步追问,引入课题.
引导学生分析:设小刚现在每分钟打x个字,则小刚原来每分钟打个字,根据“现在打80字所用的时间比原来少用100秒”可以建立方程为-.
[设计意图]　以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起探究新问题的欲望.
分式方程和分式方程的解法
思路一
【课件3】　一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km所用的时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等,江水的流速为多少
【师生活动】　教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程.
解:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v)km/h,逆流航行的速度为(30-v)km/h,顺流航行90 km所用的时间为 h,逆流航行60 km所用的时间为 h.故可列方程.
【教师提问】　方程与以前所学的整式方程有何不同
学生思考,议论后在全班交流.
【归纳】　该方程分母含有未知数.
教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
【课件4】　如何解分式方程呢
在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.
引导学生进一步分析:该分式方程中各分母是(30+v),(30-v),把方程的两边乘最简公分母可将其化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.
解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.
检验:将v=6代入原分式方程中,左边==右边,因此,v=6是原分式方程的解.
答:江水的流速为6 km/h.
　　[过渡语]　通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗
【归纳】　解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.
思路二
方程-有什么特点
学生观察,回答:分母含有未知数.
教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
【提问】　你还能举出一个分式方程吗
【课件5】　判断下列各式哪个是分式方程.
　　(1)x+y=5; (2);
(3); (4);
(5)+2x=5.
解:根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.
　　[过渡语]　如何解分式方程呢
我们一起回顾几个问题:
(1)解一元一次方程时是怎样去分母的,从中能否得到一点启发
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母,把它转化为整式方程呢
学生自主探索,并尝试选分式方程求解.
【课件6】　解方程.
【师生活动】　学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.
结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.
解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:
2(x+1)=5+x,2x+2=5+x,x=3.
检验:把x=3代入原方程,左边=,
右边=,左边=右边.
∴x=3是原分式方程的解.
[知识拓展]　分式方程与整式方程的定义区分:
特点 说明 举例
整式 方程 方程里所有的未知数都出现在分子上,分母只是常数而没有未知数 有“元”和“次”的说法 3x+=-x是一元一次方程; 2x+y=3是二元一次方程
分式 方程 方程里分母中含有未知数 —— x-=2,+1=y
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个方程.
3.把整式方程的根代入原分式方程,看左右两边是否相等.
1.下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④=0.属于分式方程的是 (　　)
　　A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析:①2x+=10是整式方程;②x-=2是分式方程;③-3=0是分式方程;④=0是整式方程.所以属于分式方程的是②③.故选B.
2.解方程.
解:方程两边都乘最简公分母x(x-2),得5x=3(x-2).
解这个一元一次方程,得x=-3.
检验:把x=-3分别代入原方程的左边和右边,得:
左边==-1,右边==-1,左边=右边,
因此,x=-3是原分式方程的解.
第1课时
分式方程和分式方程的解法
一、教材作业
【必做题】
教材第150页练习.
【选做题】
教材第154页习题15.3第1(1)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列各式中,是关于x的分式方程的是 (　　)
A.2x-3y=0
B.-3=
C.
D.+3
2.在下列方程中,是关于x的分式方程的有 (　　)
①=4;②=4;③=1;④=6.
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
3.关于x的方程=1的解是 (　　)
A.x=4 B.x=3
C.x=2 D.x=1
4.分式方程的解为 (　　)
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
【能力提升】
5将分式方程去分母后得到的整式方程正确的是 (　　)
A.x-2=2x
B.x2-2x=2x
C.x-2=x
D.x=2x-4
6.关于x的分式方程=-1的解是负数,则m的取值范围是 (　　)
A.m>-1
B.m>-1且m≠0
C.m≥-1
D.m≥-1且m≠0
7.分式方程=1的解是　　　　.
8.解方程.
【拓展探究】
9.已知方程x+=2+的解是x1=2,x2=;x+=3+的解是x1=3,x2=;x+=4+的解是x1=4,x2=……
(1)写出下面两个方程的解:
①x+=10+,　　　　;
②x+=a+,　　　　.
(2)求关于x的方程x+=a+的解.
【答案与解析】
1.C(解析:根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可.2x-3y=0是整式方程,故A选项错误;-3=是整式方程,故B选项错误;是分式方程,故C选项正确;+3不是方程,故D选项错误.故选C.)
2.B(解析:根据分式方程的定义:分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断.①方程分母中不含未知数,故①不是分式方程;②方程分母中含未知数,故②是分式方程;③方程分母中含表示未知数的字母,故③是分式方程;④方程分母中含未知数x,故④是分式方程.故选B.)
3.B(解析:将分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解,经检验即可得到分式方程的解.去分母得2=x-1,解得x=3,经检验x=3是原分式方程的解.故选B.)
4.C(解析:去分母得5x=3x+6,移项合并同类项得2x=6,解得x=3,经检验x=3是原分式方程的解.故选C.)
5.A(解析:分式方程两边乘最简公分母x(x-2),去分母得x-2=2x.故选A.)
6.B(解析:方程两边同乘(x+1),得m=-x-1,解得x=-1-m,∵x<0,∴-1-m<0,解得m>-1,又x+1≠0,∴-1-m+1≠0,∴m≠0,即m>-1且m≠0.故选B.)
7.x=2(解析:去分母得3=2x-1,解得x=2,经检验x=2是原分式方程的解.故填x=2.)
8.解:去分母得2x=3x-6,解得x=6,经检验x=6是原分式方程的解.
9.解析:(1)根据已知方程的规律可直接得出两个方程的解.(2)把方程x+=a+,变形为x+1+=a+1+,得出x+1=a+1,或x+1=,再分别求解即可.
解:(1)①x1=10,x2=　②x1=a,x2=
(2)∵x+=a+,∴x+1+=a+1+,∴x+1=a+1,或x+1=,∴x1=a,x2=-.
积极正确地引导、点拨,保证了学生掌握正确的知识.本节课的重点内容:解分式方程的思路、步骤、如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来.在解分式方程的过程中容易出现的问题都给学生做出了强调.
给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.“信心是成功的一半”,在今后的课堂教学中,应尊重其差异性,尽可能分层教学,评价标准多样化.
讲清分式方程检验的必要性和解分式方程与整式方程的区别,从而再强调解分式方程必须检验,不能省略这一步.
练习(教材第150页)
解:(1),方程两边同乘x(x-2),得5(x-2)=7x,解得x=-5.经检验,x=-5是原分式方程的解.　(2),方程两边同乘(x+3)·(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5.经检验,x=5是原分式方程的解.
1.教学解读
本节课作为分式方程的第一节课,是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的,既是前一节的深化,同时又解决了解分式方程的问题,又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础,因而在教材中具有不可忽略的地位与作用.解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程(转化思想),基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母).让学生在学习中讨论从而理解、掌握.启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程的解法.
2.重难点突破
本节的教学重点是探索分式方程的概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系.教学难点是如何将分式方程转化成整式方程.本节课是从简单的整式方程引出分式方程后,再引导学生探究它的解法.这样很轻松地找到新知识的切入点:用等式性质去分母,转化为整式方程再求解.因此,学生学的效果也较好.
　学完分式方程后,李老师出了这样一道题:已知关于x的方程的根为正数,试探索k的取值范围,并请大家讨论.下面是甲、乙两学生的对话.
甲:∵4>3,∴x+4>x+k,故k<4.
乙:∵根为正数,∴3(x+4)=4(x+k).∴x=12-4k>0.∴k<3.
则:(1)甲的说法正确吗 若正确,请在k的取值范围内选取一个你喜欢的数值代入,求x的值;若不正确,试举一反例说明.
(2)乙的说法正确吗
解:(1)甲的说法不正确,举一反例说明:
若k=3,原方程转化为,
∴4(x+3)=3(x+4).
解得x=0,不符合题意.
(2)乙的说法是正确的.
第课时　
1.使学生更加深入理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的检验方法.
1.能将实际问题中的相等数量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用.
2.经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.
培养学生自主探究的意识,提高学生的观察能力和分析能力.
【重点】　解分式方程的基本思想和解法.
【难点】　理解解分式方程时可能无解的原因.
【教师准备】　多媒体课件(1~7).
【学生准备】　复习解一元一次方程的一般步骤及注意事项.
导入一:
　　[过渡语]　上节课我们学了分式方程的定义,前面我们又学过解一元一次方程,一起回顾下面几个问题.
【课件1】　(1)请写出与的最简公分母.
(2)解一元一次方程-1=.
【师生活动】　学生思考、交流,教师引导学生关注解一元一次方程每一步易犯的错误,同时老师还应强调检验方程的根.
[设计意图]　回顾最简公分母、一元一次方程的解法,着重复习去分母的步骤,过渡到分式方程去分母.
导入二:
【课件2】　解方程.
解:方程两边同乘x(x-2),得x=3(x-2),
解这个一元一次方程,得x=3.
检验:将x=3代入原方程,左边=右边.
所以x=3是原方程的根.
解分式方程的基本思路是:　　　　.
一般步骤是:　　　　.
学生解方程后,口答:解分式方程的基本思路是:方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程.
一般步骤是:去分母、解整式方程、检验、下结论.
这节课,我们继续研究分式方程的解法.
[设计意图]　以旧入新,使学生在复习旧知识的同时,自然过渡到新知识.
一、分式方程无解的原因
【课件3】　解方程.
解:方程两边同乘(x+5)(x-5),去分母,得x+5=10,
解这个整式方程得x=5.
将x=5代入原分式方程检验,发现分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此,x=5不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.
学生尝试解方程,思考产生增根的原因.
(1)为什么要检验根
在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根).对于原分式方程的解来说,必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零,也就是说使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的值为零,它就不适合原分式方程,则不是原分式方程的解.
(2)验根的方法:
一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中某一分母为0,因此应有如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
【课件4】　在解方程-=8时,小魏的解法如下:
解:方程两边同乘(x-7),得:
x-8+1=8(x-7),
解这个一元一次方程,得x=7.
【思考】　你认为x=7是原方程的根吗
学生观察后口答:x=7不是原方程的根,因为它使方程中分母为0,分式没有意义.
教师引导学生明白:x=7是整式方程x-8+1=8(x-7)的根,不是原分式方程的根.
继续追问:为什么方程两边同乘了(x-7)就变质了呢
学生小组交流、讨论并口头展示.若有“困难”,教师作适当提示:等式变形的条件是两边同乘非零数或整式,而(x-7)可能为零.
师生共同总结产生增根的原因及验根方法:原分式方程与变形后的整式方程中,未知数的取值范围不同,我们在方程的两边同乘了一个可能令分母等于0的整式,因此解分式方程可能产生不是分式方程的根(即增根).所以解分式方程必须验根,目的在于检验整式方程的根是不是原分式方程的增根.验根的方法是将整式方程的解代入到原分式方程的各分母或最简公分母中,只要有一个分母为0或最简公分母为0,则为增根,应舍去.
[归纳总结]　(1)一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
(2)解分式方程的一般步骤:①去分母,在方程的两边乘最简公分母,把原分式方程化为整式方程.②解这个整式方程.③验根:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解,是原分式方程的解;使最简公分母等于0的解,不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
二、例题讲解
【课件5】　(教材例1)解方程.
【师生活动】　教师引导学生找出最简公分母,然后由学生独立解方程.
解:方程两边同乘x(x-3),得2x=3x-9,
解得x=9.
检验:当x=9时,x(x-3)≠0,
所以原分式方程的解为x=9.
【课件6】　(教材例2)解方程-1=.
【师生活动】　学生独立试解后,教师把学生的错解与正解两种过程对比分析,防止出现漏乘.教师进一步强调,解分式方程时我们要注意:(1)将分式方程转化为整式方程时,乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项,不要漏乘常数项.(2)解分式方程时,一定要检验方程的根.
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得:
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,
化简,得x+2=3,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
【课件7】　解分式方程的一般步骤如下:
[设计意图]　通过知识结构图,将本节所学的知识形成知识网络,让零散的知识更系统化.
　　1.方程=3的解是x=　　　　.
解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,经检验x=6是原分式方程的解.故填6.
2.若代数式和的值相等,则x=　　　　.
解析:根据题意,得,方程两边都乘最简公分母(x-2)(2x+1),去分母,得2x+1=3x-6.解得x=7.经检验,x=7是原方程的解.故填7.
3.解方程-=0.
解:去分母,得3x+6-2x=0,
解得x=-6.
经检验,x=-6是原方程的解.
4.当m为何值时,去分母解方程=1-会产生增根
解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的最简公分母为0的根.有增根,那么最简公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.
解:方程两边都乘3(x-2),得:
4x+1=3x-6+3(5x-m),
即3m=14x-7.
分式方程若有增根,则最简公分母必为零,即x=2,
把x=2代入整式方程,得:
3m=14×2-7,解得m=7,
所以当m=7时,去分母解方程=1-会产生增根.
第2课时
一、分式方程无解的原因
课件3
二、例题讲解
课件5
课件6
一、教材作业
【必做题】
教材第152页练习.
【选做题】
教材第154页习题15.3第1(2)~(8)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.将分式方程1-去分母,得到正确的整式方程是 (　　)
A.1-2x=3 B.x-1-2x=3
C.1+2x=3 D.x-1+2x=3
2.方程=0的解为 (　　)
A.x=-2 B.x=2
C.x=±2 D.x=-
3.要把分式方程化为整式方程,方程两边应同乘 (　　)
A.2x-4 B.x
C.2(x-2) D.2x(x-2)
4.若x=-1是方程-=0的根,则 (　　)
A.a=6 B.a=-6
C.a=3 D.a=±3
【能力提升】
5.当x=　　　　时,分式的值等于2.
6.若关于x的方程无解,则m=　　　　.
7.解方程.
8.解方程-1=.
【拓展探究】
9.若解关于x的方程+2=产生增根,求k的值.
【答案与解析】
1.B(解析:先确定最简公分母(x-1),再两边同时乘(x-1),得x-1-2x=3.故选B.)
2.A(解析:去分母得x2-4=0,解得x=2或x=-2,经检验x=2是增根,所以分式方程的解为x=-2.故选A.)
3.D(解析:分式方程化为整式方程,两边同乘2x(x-2).故选D.)
4.A(解析:分式方程先化为整式方程,再将x=-1代入计算即可求出a的值.去分母,得ax-3x+3=0,将x=-1代入得-a+3+3=0,解得a=6.故选A.)
5.5(解析:由题意,得=2,方程的两边同乘(x-1),得x+3=2(x-1),解得x=5,检验:把x=5代入x-1知x-1=4≠0,故原方程的解为x=5.)
6.-8(解析:将分式方程去分母转化为整式方程,得2(x-1)=-m,将x=5代入计算即可求出m的值.)
7.解:方程两边同乘x(x-3),得x=3(x-3).解这个方程,得x=.检验:将x=代入x(x-3)知x(x-3)≠0.所以x=是原方程的根.
8.解:去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
去括号,得x2+2x-x2-x+2=3.
解得x=1.经检验,x=1是增根.
所以原分式方程无解.
9.解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根,所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x-3=0,得到x=3,然后代入化为整式方程的方程求出k的值.
解:方程两边同乘(x-3),得k+2(x-3)=4-x,
因为方程有增根,所以最简公分母x-3=0,即增根是x=3,把x=3代入整式方程,得k=1.
本节课以探究、启发、引导学生自学自悟的方式,提供了学生自主探究的舞台,营造了锻炼思维的空间,在经历知识的发现过程中,培养了学生探究、归纳的能力.在课堂教学中,时时注意营造思维氛围,让学生在探究中学会思考、表达.
在教学过程中,忽略了学生基础不扎实的情况,
使一部分学生找不准最简公分母而出现计算错误.
在解分式方程之前先将最简公分母复习一遍,给学生铺好路,另外要给学生一个例子,就是方程两边都乘最简公分母时,要求每一项都乘最简公分母,让学生看到去分母的过程.
练习(教材第152页)
解:(1),方程两边乘2x(x+3),得x+3=4x,解得x=1.经检验x=1是原分式方程的解.　(2)+1,原方程可变形为,方程两边乘3(x+1),得3x=5x+3,解得x=-.经检验x=-是原分式方程的解.
(3),方程两边乘x2-1,得2(x+1)=4,解得x=1.检验:当x=1时,x2-1=0,因此x=1不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.　(4)-=0,原方程可变形为,方程两边乘x(x2-1),得5(x-1)=x+1,解得x=,经检验x=是原分式方程的解.
1.教学解读
本节是继分式、分式的乘除法、分式的加减法之后在分式方程的应用之前的内容,而第1课时为我们介绍了什么叫做分式方程,对于一个方程而言,我们主要研究它的解法,所以这节课就是对这一内容进行深入的分析和研究.从第1课时的内容我们可以看到,在很多应用题里面会用到分式方程,因此学习如何解分式方程可以解决很多实际的问题,而在解分式方程的过程当中,体现了数学中“转化”的思想,这种思想在数学上的应用是相当广泛的.解分式方程还涉及找最简公分母、去分母、分解因式以及分式的相关运算等内容的综合运用,因而,它在数学中起着承上启下、巩固提升旧知识的作用,对于学生而言,将新旧知识融合在一起进行综合性的运用,能提高其解决问题的能力.
　　2.重难点突破
本节重点是可化为一元一次方程的分式方程的求解中的转化.解分式方程的基本思想是:设法去掉分式方程的分母,把分式方程转化为整式方程,这是分式方程求解的关键,因此转化过程中主要是找方程两边的最简公分母.解分式方程学生容易出错,是因为不能理解在方程变形的过程中产生增根的原因,学生理解有一定的困难,可以结合实例让学生在学习中讨论,从而理解、掌握.启发式设问和学生讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程的解法.
　关于x的分式方程+3=有增根,则增根为 (　　)
　　A.x=1 B.x=-1
C.x=3 D.x=-3
〔解析〕　增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x-1=0,得到x=1,然后代入化为整式方程的方程,检验是否符合题意.故选A.　　
〔解题策略〕　本题考查了分式方程的增根,关于增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程,检验是否符合题意.
第课时　
1.使学生进一步熟练地按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2.使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
通过学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生数学应用意识,提高分析问题和解决实际问题的能力.
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻求解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
【重点】　在不同的实际问题中审明题意设未知数,列分式方程,解决实际问题.
【难点】　在不同的实际问题中,设合适的未知数列方程.
【教师准备】　多媒体课件(1~6).
【学生准备】　复习列方程解应用题的相关知识.
导入一:
1.解分式方程的步骤:
(1)能化简的先化简;(2)方程两边同乘最简公分母,化分式方程为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
2.列方程解应用题的步骤是什么
(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.
3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型
在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:
【课件1】　(1)行程问题:路程=速度×时间,而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题:工作量=工作时间×工作效率.
(4)顺水、逆水问题:v顺水=v静水+v水;v逆水=v静水-v水.
(5)利润问题:售价-进价=利润率×进价.
有一些实际问题,我们可以通过列分式方程解决.
[设计意图]　复习列一元一次方程解决实际问题的步骤和常见应用题类型等知识,为本节课的学习做好准备.
导入二:
【课件2】　解下列方程.
(1)-+2=0;
(2)=1.
解:(1)x=1.
(2)x=-.
[设计意图]　进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程,而怎样列分式方程解应用题是本节的核心问题,通过复习解题方法与步骤为本节学习做好准备.
例题讲解
　　[过渡语]　同学们,我们一起来看几个例子:
【课件3】　(教材例3)两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快
〔解析〕　甲队1个月完成总工程的,设乙队单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的　　　　,乙队半个月完成总工程的　　　　,两队半个月完成总工程的　　　　.
解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得=1.
方程两边乘6x,得2x+x+3=6x,
解得x=1.
检验:当x=1时,6x≠0.
所以原分式方程的解为x=1.
由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的,可知乙队的施工速度快.
引导学生在用式子表示上述的量之后,再根据“甲、乙两个工程队工程总量=总工作量”这一相等关系建立方程.
教师示范解答过程,强调必须检验这一过程.
【课件4】　某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打9折销售,结果销售量比上个月增加20件,营业额比上个月增加700元,该种纪念品4月份的销售价格为多少
【师生活动】　学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,学生大胆尝试,形成解决问题的一些基本策略.教师根据学生交流情况介绍如何抓住关键词“增加”,得出“5月份的销售量比4月份的销售量增加20件”这一相等关系,设未知数建立方程.
〔解析〕　设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,则4月份的销售量为件,5月份的售价为0.9x元/件,营业额为(2000+700)元,5月份的销售量为件,5月份的销售量比4月份的销售量增加20件,从而可列出分式方程.
解:(1)设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,根据题意得:
-20,解得x=50.
经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意.
答:该种纪念品4月份的销售价格是50元/件.
【课件5】　(教材例4)某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少
【师生活动】　学生讨论,教师引导.先指导学生读题,理清速度、路程和时间所对应的式子,再抓住“相同的时间”这一关键词,得出相等的数量关系:“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”,从而建立方程.
学生自己独立完成解答过程,教师再演示出解答过程.
教师帮助学生解决含有字母的计算问题,求出关于x的方程的解.教师提醒注意:表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).
〔解析〕　这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km 所用时间为　　　　h,提速后列车的平均速度为　　　　km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为　　　　h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km 所用时间为 h.
根据行驶时间的等量关系,得.
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得x=.
检验:由v,s都是正数,得x=时x(x+v)≠0.
所以原分式方程的解为x=.
答:提速前列车的平均速度为 km/h.
[知识拓展]　(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.
(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正整数等.
(3)在一些实际问题中,有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦,可以间接地设未知数.
【课件6】　列分式方程解应用题按下列步骤进行:
(1)审题了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;
(2)设未知数;
(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系,列出分式方程;
(4)解这个分式方程;
(5)验根,检验所求根是不是增根及是否符合实际意义;
(6)写出答案.
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是 (　　)
A.-=2
B.-=2
C.-=2
D.
解析:先分别用代数式表示原计划和实际完成任务所用的时间,再根据“原计划所用时间-实际所用时间=2”列出方程.原计划施工所用的天数为,实际施工所用的天数为,依题意可得-=2.故选A.
2.某商店销售一种玩具,每件售价90元,可获利15%,求这种玩具的成本价.设这种玩具的成本价为每件x元,依题意列方程,正确的是 (　　)
A.=15%
B.=15%
C.90-x=15%
D.x=90×15%
解析:根据等量关系“利润÷成本价=15%”列方程即可.因为这种玩具每件的成本价为x元,所以这种玩具每件的利润为(90-x)元,可得方程=15%.故选A.
3.小马自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费.
解析:先寻找等量关系:驾驶原来的燃油汽车消耗108元的燃油费能够行驶的路程等于驾驶新购买的纯电动车耗费27元的电费能够行驶的路程.根据等量关系,设未知数、列方程解答即可.
解:设新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费为x元,则每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费为(x+0.54)元.
依题意列方程得,
解得x=0.18,
经检验,x=0.18是原方程的解且符合题意.
答:新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费为0.18元.
第3课时
列方程解应用题的步骤
常见应用题的几种类型
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第154页习题15.3第3,6题.
【选做题】
教材第154页习题15.3第7,8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一项工程,甲单独做需m小时完成,若与乙合作20小时可以完成,则乙单独完成需要的时间是 (　　)
A.小时 B.小时
C.小时 D.小时
2.某市从今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米,设去年水费为x元/立方米,则所列方程为　　　　.
3.某乡镇改造农村电网,需重新架设4000 m长的电线,为了减少施工对用户用电造成的影响,施工时每天的工作效率比原计划提高,结果提前两天完成任务,则施工中每天架多少米电线
【能力提升】
4.有一个三位数,个位上的数字比十位上的数字少1,百位上的数字比十位上的数字多1,这个三位数是各个数字和的48倍,求这个三位数.
5.某市为了缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%,则原计划完成这项工程需用多少个月
【拓展探究】
6.铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元
(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元
【答案与解析】
1.A(解析:可知甲每小时完成,甲、乙合作每小时完成,故乙单独做每小时完成-,故乙单独完成所需时间为小时.)
2.-=8(解析:利用“5月份的用水量比去年12月份多8立方米”的等量关系列方程.)
3.解:设原计划每天架x m,则-=2,解得x=500.经检验x=500为原方程的解且符合题意,所以实际每天架x+x=×500=(m).
4.解:设十位上的数字为x,则
=48.解得x=3.经检验x=3为原方程的解且符合题意,所以这个三位数是432.
5.解:设原计划完成这项工程需用x个月,依题意列方程得.解方程得x=28.经检验x=28为原方程的解且符合题意,所以原计划完成这项工程需28个月.
6.解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元,依题意,得×2.解得x=5.
经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意.
答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元.
(2)试销时购进苹果的数量为=1000(千克);
第二次购进苹果的数量为2×1000=2000(千克).
赢利为(1000+2000-400)×7+400×7×0.7-5000-11000=4160(元).
答:超市两次销售该品种苹果共赢利4160元.
在课堂教学过程中,根据教学目标和学生的具体情况,紧密联系实例,精心设计问题情境,使所有学生既能参与,又有探索的余地,学生在获得必要发展的前提下,不同的学生获得不同的体验,达到了课堂教学的有效性.
对于等量关系的寻找困难,尤其是对题中条件比较多,或是等量关系比较隐含的应用题,如何准确找出题目中的等量关系是教学中的难点.
借助表格法寻找相等的数量关系来降低难度.
练习(教材第154页)
1.解:设骑车学生的速度为x km/min,则汽车的速度为2x km/min.根据题意,得+20,解得x=,经检验,x=是原分式方程的解.答:骑车学生的速度为 km/min.
2.解:设甲每小时做零件x个,则乙每小时做零件(x-6)个.由题意,得,解得x=18.经检验,x=18是原分式方程的解.18-6=12(个),所以乙每小时做零件12个.答:甲、乙每小时各做零件18个,12个.
习题15.3(教材第154页)
1.解:(1),方程两边乘x(x+3),得x+3=5x,解得x=,经检验x=是原分式方程的解.　(2)-2,方程两边乘2(x-1),得2x=3-4(x-1),解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.　(3),原方程可变形为,方程两边乘(2x+1)·(2x-1),得2x+1=2.解得x=.检验:当x=时,(2x+1)(2x-1)=0,因此x=不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.　(4)-=0,原方程可变形为,方程两边乘x(x+2)(x-2),得3(x-2)=x+2,解得x=4,经检验,x=4是原分式方程的解.　(5),方程两边乘(x-3)·(x-1),得x(x-1)=(x-3)(x+1),解得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的解.　(6)+1=,原方程可变形为,方程两边乘x-2,得2x-5=-3,解得x=1.经检验x=1是原分式方程的解.　(7),方程两边乘6x(x+1),得6(2x+1)=5x,解得x=-,经检验x=-是原分式方程的解.　(8)-,原方程可变形为,方程两边乘2(3x-1),得9x-5=5,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.
2.解:(1)+a=1(a≠1),原方程可变形为=1-a,方程两边乘x-1,得1=(1-a)(x-1),解得x=,经检验,x=是原分式方程的解.　(2)-=0(m≠0,且m≠1),方程两边乘x(x+1),得m(x+1)-x=0,解得x=,经检验x=是原分式方程的解.
3.解:设甲的速度为v km/h,则乙的速度为v km/h,根据题意得,解得v=.经检验v=是原方程的根,且符合题意,∴v==6.答:甲的速度为 km/h,乙的速度为6 km/h.
4.解:设A型机器人每小时搬运化工原料x kg,则B型机器人每小时搬运化工原料(x-30)kg.根据题意,得.整理得900x-27000=600x,解得x=90.经检验,x=90是原分式方程的解,x-30=60.答:A型机器人每小时搬运化工原料90 kg,B型机器人每小时搬运化工原料60 kg.
5.解:设李强单独清点这批图书需要x h.根据题意,得=1.2.解得x=4.经检验x=4是原分式方程的解.答:如果李强单独清点这批图书需要4 h.
6.解:设小水管的注水速度为x m3/min,则大水管的注水速度为4x m3/min.根据题意,得=t,解关于x的分式方程,得x=.经检验,x=是原分式方程的解.4x=.答:大、小两根水管的注水速度分别为 m3/min, m3/min.
7.解:设原来玉米平均每公顷的产量为x t,则现在玉米平均每公顷的产量为(x+a)t.根据题意,得(x+a)·-m=20,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.x+a=+a=,所以现在玉米平均每公顷的产量为 t.答:原来玉米平均每公顷的产量为 t,现在玉米平均每公顷的产量为 t.
8.解:设第二组的攀登速度为x m/h,则第一组的攀登速度是1.2x m/h.由题意可知-,解得x=300.经检验x=300是原方程的根,且符合题意.所以1.2x=1.2×300=360.答:第一组和第二组的攀登速度分别为360 m/h和300 m/h.设第二组的攀登速度为x m/h,则第一组的攀登速度为ax m/h,由题意可知-,解得x=.经检验x=是原方程的根,且符合题意.所以ax=.答:第一组和第二组的攀登速度分别为 m/h和 m/h.
9.解析:先认真审题,找到等量关系,显然这个等量关系落实在“一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同”这句话中的“相同”二字上.再合理设元,用相关数据建立等量关系,求解方程,然后检验,最后作答即可.
此题答案不唯一.如:花草树木净化我们的生活环境,据林业专家分析,树叶在光合作用后产生分泌物能够在空气中滞尘,净化空气,已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.
解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)毫克.依题意列方程得,解得x=22,经检验:x=22是原方程的解.
答:一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克.
1.教学解读
本节课循序渐进,合理设计教学问题系列,有效组织教学活动,既发挥了教师的主导作用,又体现了学生的主体地位,较好地完成了教学目标.教学中,首先让学生回忆现在所学过的应用题的类型,复旧导新激发学生学习的兴趣,在对例题的处理上,通过小组讨论、交流思路和想法,找到题目中的等量关系,培养了学生分析问题和解决问题的能力.在教学过程中,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义,掌握必要的基础知识与基本技能,发展应用数学知识的意识与能力,增强学好数学的愿望和信心.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激活学生的思维,营造良好的课堂氛围.
2.重难点突破
本节课的教学重点是要学生们建立分式方程的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,同时列出分式方程,并解答.本节课采取了老师引导学生从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对某一个题目进行了详细的讲解和板演,让学生们对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识,同时也对书写的过程有准确的认识,之后开始让学生们展示.
　某服装厂接到一份加工3000件服装的订单.应客户要求,需提前供货,该服装厂决定提高加工速度,实际每天加工的件数是原计划的1.5倍,结果提前10天完工.原计划每天加工多少件服装
解:设该服装厂原计划每天加工x件服装,则实际每天加工1.5x件服装,根据题意,得-=10,解这个方程得x=100.
经检验,x=100是所列方程的根且符合题意.
答:该服装厂原计划每天加工100件服装.
〔解题策略〕　根据实际每天加工的件数是原计划的1.5倍解题,设该服装厂原计划每天加工x件服装,则实际每天加工1.5x件服装.原计划的时间是天,实际所用的时间是天,两者差10天,列出方程-=10.

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