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第7讲 进制
【知识梳理】
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
3.进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，且“逢k进一”．进位制计数单位是，，，．如二进位制的计数单位是，，，，八进位制的计数单位是，，，．
4.进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
十进制表示形式：；
二进制表示形式：；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上，表示是进位制的数
如：，，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为进制数的方法是：除以取余数，一直除到被除数小于为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为进制数．反过来，进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
【典例精讲】
把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
将二进制数 化为十进制数为多少？
同学们请将化为十进制数，看谁算的又快又准。
二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
将二进制数11101转换为五进制数。
现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
古代英国的一位商人有一个磅的砝码，由于跌落在地碎成块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这块来称从至磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。那么这块砝码碎片各重 ， ， ， 。
【能力提升】
若，则________．
【课后巩固】
1.跟着老师一起将十进制的35转化为二进制、四进制、八进制。
2.将25转化为二进制和七进制。
3.请将下面的二进制转化为十进制。
4.二进制数10101转化为8进制数是多少？
5.把二进制转化为十进制数。
6.把十进制38改写成二进制数。
7.若（1030）n=140，则n=________．
8.计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、 MB 、 GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是 1KB=B， 1MB =KB， 1GB=MB．小明新买了一个播放器，存储容量为256MB，它相当于_____B。
9.表示n进制数，若=，求n.
10.如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？
【小测验】
二进制的1000001相当于十进制的________
A.62 B.63 C.64 D.65
十进制的100相当于二进制的________
A.1000000 B.1100000 C.1100100 D.1101000
八进制的100转化为十进制为_______
A.80 B.72 C.64 D.56
十六进制的100化为十进制为_______
A.160 B.180 C.230 D.256
5.现有1克，2克，4克，8克的砝码各1枚，在天平上能称________种不同重量的物体？
A.15 B.18 C.16 D.31第7讲 进制
【知识梳理】
一、数的进制
1.十进制：
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
3.进制：
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，，共k个数码组成，且“逢k进一”．进位制计数单位是，，，．如二进位制的计数单位是，，，，八进位制的计数单位是，，，．
4.进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
十进制表示形式：；
二进制表示形式：；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上，表示是进位制的数
如：，，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．
5.进制的四则混合运算和十进制一样
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：
一般地，十进制整数化为进制数的方法是：除以取余数，一直除到被除数小于为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为进制数．反过来，进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．
【典例精讲】
把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。
【答案】,,
【解析】一定要强调两点（1）商到0为止，（2）自下而上的顺序写出来
【答案】
【解析】本题是进制的直接转化：
将二进制数 化为十进制数为多少？
【答案】
【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法：
=107
同学们请将化为十进制数，看谁算的又快又准。
【答案】,,
【解析】
二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【答案】
【解析】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
从后往前取三合一进行求解，可以得知
另：也可以先将二进制转化为十进制，再将十进制转化为八进制。
将二进制数11101转换为五进制数。
【答案】
【解析】；
现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【答案】31
【解析】因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，=4，=8，=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是=31，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。
古代英国的一位商人有一个磅的砝码，由于跌落在地碎成块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这块来称从至磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。那么这块砝码碎片各重 ， ， ， 。
【答案】1,2,4,8
【解析】因为二进制数可以表达所有的自然数，而且表达形式是唯一的，例如：，……所以只要准备质量为1,2,4,8的二进制数砝码即可。
【能力提升】
若，则________．
【答案】5
【解析】若，则，经试验可得．
【课后巩固】
1.跟着老师一起将十进制的35转化为二进制、四进制、八进制。
【答案】
【解析】
2.将25转化为二进制和七进制。
【答案】
【解析】
3.请将下面的二进制转化为十进制。
【答案】
【解析】；
4.二进制数10101转化为8进制数是多少？
【答案】
【解析】；
5.把二进制转化为十进制数。
【答案】
【解析】
6.把十进制38改写成二进制数。
【答案】
【解析】
7.若（1030）n=140，则n=________．
【答案】5
【解析】若，则，经试验可得．
8.计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、 MB 、 GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是 1KB=B， 1MB =KB， 1GB=MB．小明新买了一个播放器，存储容量为256MB，它相当于_____B。
【答案】
【解析】
9.表示n进制数，若=，求n.
【答案】12
【解析】若=,则
10.如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？
【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可
【解析】至少需要：1，2，4，8，16，32，64这七种重量的砝码即可
【小测验】
二进制的1000001相当于十进制的________
A.62 B.63 C.64 D.65
【答案】D
十进制的100相当于二进制的________
A.1000000 B.1100000 C.1100100 D.1101000
【答案】C
八进制的100转化为十进制为_______
A.80 B.72 C.64 D.56
【答案】C
十六进制的100化为十进制为_______
A.160 B.180 C.230 D.256
【答案】D
5.现有1克，2克，4克，8克的砝码各1枚，在天平上能称________种不同重量的物体？
A.15 B.18 C.16 D.31
【答案】A

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