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第3讲 平面几何模型——蝴蝶模型
【知识梳理】
梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
②
③的对应份数为
④S1 × S3=S2 × S4
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。
【典例精讲】
如图，，，求梯形的面积。
如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米。
梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比。
如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1，并且，那么OC的长是多少？
梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？
如图，梯形ABCD中，、的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积。
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。
如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
【能力提升】
如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积。
【课后巩固】
1.如左下图，E是长方形ABCD边AB的中点，已知三角形EBF的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。
2.正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为 。
3.如图面积为12平方厘米的正方形中，E、F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积。
4.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．
5.如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．
6.在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是______平方厘米。
7.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积。
8.如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？
9.如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积．
10.如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．
【小测验】
1.梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？
2.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
3.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
4.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米．
5.E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？第3讲 平面几何模型——蝴蝶模型
【知识梳理】
梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
②
③的对应份数为
④S1 × S3=S2 × S4
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。
【典例精讲】
如图，，，求梯形的面积。
【答案】9
【解析】设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，，所以；又因为，所以；那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，。
如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米。
【答案】144
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)。
梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比。
【答案】
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可以求出，
再根据梯形蝴蝶定理，。
如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1，并且，那么OC的长是多少？
【答案】
【解析】根据蝴蝶定理，，所以，又，所以。
梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？
【答案】4
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，，
所以。
如图，梯形ABCD中，、的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积。
【答案】7.5
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，
，，
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。
【答案】34
【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是．
如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
【答案】20
【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．
【能力提升】
如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积。
【答案】1
【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米。
【课后巩固】
1.如左下图，E是长方形ABCD边AB的中点，已知三角形EBF的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。
【答案】12
【解析】根据题意，,.所以，.长方形ABCD的面积为：
2.正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为 。
【答案】12
【解析】连结，，即，，所以。
3.如图面积为12平方厘米的正方形中，E、F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积。
【答案】3
【解析】因为是边上的三等分点，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，，所以，所以平方厘米。
4.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．
【答案】9
【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．
5.如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．
【答案】144
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．
6.在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是______平方厘米。
【答案】45
【解析】因为AD∥BC，故 又 ，故
在与中，因其高相等，且BO:DO=2:1， 故 :=2:1
而 ，故 。同理，在与中，
因CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故 :=2:1即 .
在中，因AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故: =1:2。
即综上，=10+20+10+5=45
7.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积。
【答案】34
【解析】如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是．
8.如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？
【答案】25
【解析】连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．
9.如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积．
【答案】3.5
【解析】如图，连接，，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米
10.如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．
【答案】7.5
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，，， ．
【小测验】
1.梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？
【答案】4
【解析】根据梯形蝴蝶定理，，，所以．
2.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
【答案】20
【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．
3.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【答案】1
【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．
4.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米．
【答案】12
【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．
5.E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
【答案】11
【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.

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