资源简介

(
第2讲 枚举法中的字典排序
二升三 暑期
)
(
知识点
)
枚举法中的字典排列（三上）
1、 字典排序法
所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．
2、 分类计数
枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．
3、 分类的基本原则：不重不漏．
4、 枚举时注意审题：判断题目“交换顺序算作两种”还是“交换顺序算作一种”．
(
知识精讲
)
在之前我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况列举出来，但如果问题较为复杂，枚举很有可能产生重复或者纰漏，这时我们就可用“字典排列法“． 同学们可以翻看一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从A到Z排列，首字母相同的单词都在一起，在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从A到Z的顺序排列，然后是第3个字母，第4个字母……字典排列法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．
(
课堂例题
)
字典排列法
1、小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？
2、老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法．试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
分类枚举
3、如图，有7个按键，上面分别写着：1，2，3，4，5，6，7这七个数字．请问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？
（2）从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？
(
1
2
5
6
3
4
7
)
4、如图，数一数图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？
(
☆
)
5、午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个．小高想要挑3个水果吃．请问：小高一共有多少种选择？
6、已知甲、乙、丙三个数的乘积是12，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？
7、矮胖子、高个子、小石头、大木头四个人要排队拍照，但是只有3个位置，这四个人中选三个人排队拍照，有几种不同的站法？
8、数学兴趣小组有3名男生和2名女生．现在要选3名同学去参加比赛，其中男生比女生多．有多少种不同的选法？
9、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
(
随堂练习
)
1、小高、墨莫、卡莉娅三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本．小高、墨莫、卡莉娅分别有几本课外书？请写出全部可能的情况．
2、三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三位数？
3、有一次，著名的探险家大米得到了一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码之和大于11的两个数字，而且这两个数字不能相同．不能考虑数字的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
4、如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？
(
☆
)
5、如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有___________种不同的付款办法．（不考虑找钱的情况）
6、汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病．医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能有的蛀牙情况共___________种．
7、生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小高在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有___________只．
(
课后作业
)
1、请你数一数，下图中一共有______个三角形．
2、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有_______种不同的分法．
3、老师要求墨莫把一篇英语课文抄写4遍，每天至少写1遍．那么墨莫完成这些课文共有_______种不同的可能．
4、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有_______种．
5、体育馆里有很多足球、篮球和排球，体育老师要小高从里面拿3个球，至少拿两种球，请问小高有_______种不同的选择．
6、小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃光了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多．请问：每个人可能吃了几根薯条？(
第2讲 枚举法中的字典排序
二升三 暑期
)
(
知识点
)
枚举法中的字典排列（三上）
1、 字典排序法
所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．
2、 分类计数
枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．
3、 分类的基本原则：不重不漏．
4、 枚举时注意审题：判断题目“交换顺序算作两种”还是“交换顺序算作一种”．
(
知识精讲
)
在之前我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况列举出来，但如果问题较为复杂，枚举很有可能产生重复或者纰漏，这时我们就可用“字典排列法“． 同学们可以翻看一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从A到Z排列，首字母相同的单词都在一起，在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从A到Z的顺序排列，然后是第3个字母，第4个字母……字典排列法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．
(
课堂例题
)
字典排列法
1、小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？
【答案】
共21种情况
【解析】
这三个人分别找到的宝物数量，有如下可能的情况，所以一共有21种情况．
(
小高
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
墨莫
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
0
1
0
卡莉娅
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
0
1
0
0
)
2、老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法．试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
【答案】
10种
【解析】
不妨设第一个数最小，第三个数最大，则按照第一个数最小是几，可以列出下面的情况：而当第一个数大于3时，3个数的总和至少是不符合题意了．所以最多能给出10种不同的写法．
(
第一个数
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
第二个数
0
1
2
3
4
1
2
3
2
3
第三个数
8
7
6
5
4
6
5
4
4
3
)
分类枚举
3、如图，有7个按键，上面分别写着：1，2，3，4，5，6，7这七个数字．请问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？
（2）从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？
(
1
2
5
6
3
4
7
)
【答案】
（1）5种（2）6种
【解析】
（1）按键上最小的数字是1，则减数最小是1；按键上最大的数字是7，则减数最大是；因此减数共有1、2、3、4、5这5种情况，则按键共有5种取法：
(
减数
1
2
3
4
5
被减数
3
4
5
6
7
)
（2）如果选出的较小的数是1，和最大为，不满足要求．
如果较小的数是2，和最大为，不满足要求．
如果较小的数是3，和要大于9，另一个数只能是7．
如果较小的数是4，则另一个数可能是6、7．
如果较小的数是5，则另一个数可能是6、7．
如果较小的数是6，则另一个数只能是7．因此共有6种取法．
(
较小数
3
4
4
5
5
6
较大数
7
6
7
6
7
7
)
4、如图，数一数图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？
(
☆
)
【答案】
12
【解析】
按长方形的大小分类，一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四个的有3个，六格的有2个，八格的有1个．共有个．
5、午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个．小高想要挑3个水果吃．请问：小高一共有多少种选择？
【答案】
10种
【解析】
要从苹果、香蕉、桔子这3种水果里一共挑出3个水果，那么这3个水果里可能有1种、2种或3种．
当拿出的水果都是同一种时：可以都是苹果、都是香蕉、都是桔子，总共有3种挑法．
当拿出的3个水果里有2种时，也就是一种有2个，一种有1个：苹果有2个，还有1个可以是香蕉或桔子；香蕉有2个，还有1个可以是苹果或桔子；桔子有2个，还有1个可以是香蕉或者苹果．总共有6种挑法．
当拿出的水果3种都有时，那只有苹果、香蕉、桔子各拿1个这1种挑法了．
所以一共有种选择．
6、已知甲、乙、丙三个数的乘积是12，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？
【答案】
18
【解析】
将12写成三个数的乘积，再依次对应到甲、乙、丙三个数．，甲、乙、丙共3种可能．，甲、乙、丙共6种可能．，甲、乙、丙共6种可能．，甲、乙、丙共3种可能．所以甲、乙、丙共种可能．
7、矮胖子、高个子、小石头、大木头四个人要排队拍照，但是只有3个位置，这四个人中选三个人排队拍照，有几种不同的站法？
【答案】
24
【解析】
四个人中选三个，可以依次枚举：矮胖子、高个子、小石头；矮胖子、高个子、大木头；矮胖子、小石头、大木头；高个子、小石头、大木头．所以四个人中选三个人共4种选法．而选好的三个人排队，有6种排法，所以共种不同的站法．
8、数学兴趣小组有3名男生和2名女生．现在要选3名同学去参加比赛，其中男生比女生多．有多少种不同的选法？
【答案】
7
【解析】
因为男生比女生多，所以可能为3男生或2男生1女生．
如果是3男生，共1种选法；
如果是2男生1女生，给男生分别编号1、2、3，女生编号A、B，枚举可得：1、2、A，1、2、B，1、3、A；1、3、B；2、3、A；2、3、B共6种选法．
综上，共有种不同的选法．
9、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
【答案】
8种
【解析】
7个鸡蛋，每天至少吃2个，所以肯定在1~3天的时间范围里吃完．
如果1天吃完，那只有1种可能：第一天吃了全部7个鸡蛋；
如果2天吃完，那么第一天可以吃2个、3个、4个或5个鸡蛋，第二天把剩下的吃完，也就是分别吃5、4、3、2个，一共有4种情况；
如果3天吃完，那么每天至少吃2个，3天至少吃6个，还多余一个，可以放在3天中的随便哪一天吃，所以一共有3种情况：2、2、3；2、3、2；3、2、2．
全部可能的吃法一共有种．
(
随堂练习
)
1、小高、墨莫、卡莉娅三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本．小高、墨莫、卡莉娅分别有几本课外书？请写出全部可能的情况．
【答案】
如下表所示，共有15种可能：
(
小高课外书本数
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
墨莫课外书本数
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
卡莉娅课外书本数
5
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2
1
1
)
【解析】
首先，小高至少有1本课外书．此时，墨莫和卡莉娅共有本课外书．又每人至少有1本，因此列出表来共有5种情况，如图1所示．又墨莫和卡莉娅是两个不同的人，因此本题的枚举有顺序．类似地，可以得到小高有2本，3本，4本，5本课外书时，墨莫和卡莉娅两人的课外书的数量，分别如图2，图3，图4，图5所示．但小高是不可能有6本课外书的，否则墨莫和卡莉娅两人一共只有1本课外书，与题意矛盾．综上所述，三人的课外书一共有种可能．
(
小高课外书本数
1
1
1
1
1
墨莫课外书本数
1
2
3
4
5
卡莉娅课外书本数
5
4
3
2
1
图
1
小高课外书本数
2
2
2
2
墨莫课外书本数
1
2
3
4
卡莉娅课外书本数
4
3
2
1
图
2
小高课外书本数
3
3
3
墨莫课外书本数
1
2
3
卡莉娅课外书本数
3
2
1
小高课外书本数
4
4
墨莫课外书本数
1
2
卡莉娅课外书本数
2
1
小高课外书本数
5
墨莫课外书本数
1
卡莉娅课外书本数
1
图
3
图
4
图
5
)
2、三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三位数？
【答案】
8
【解析】
将10分解成3个非0数字，，，，，，，，．综上，共有8组这样的三位数．
3、有一次，著名的探险家大米得到了一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码之和大于11的两个数字，而且这两个数字不能相同．不能考虑数字的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
【答案】
12
【解析】
将11以上的数写成2个小于10的不同数字的和，，，，，，，，，，，，．综上，共有12种可能．
4、如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？
(
☆
)
【答案】
10
【解析】
按正方形的大小分类．一格的有1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1个，共有个．
5、如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有___________种不同的付款办法．（不考虑找钱的情况）
【答案】
14种
【解析】
在1元，2元，5元的纸币中，5元的面值最大．而要买13元的东西，最多用2张5元的纸币．
如果没有5元纸币，要用1元和2元的凑够13元，则2元纸币最多有6张．
当2元纸币分别有0~6张时，对应的1元纸币分别有13张、11张、9张、7张、5张、3张、1张．所以可得以下7种凑法：
(
5
元纸币的张数
0
0
0
0
0
0
0
2
元纸币的张数
0
1
2
3
4
5
6
1
元纸币的张数
13
11
9
7
5
3
1
)
如果5元纸币只有1张，那么余下的元，要由1元和2元的纸币来组成，
此时2元纸币最多有4张．当2元纸币分别有0~4张时，对应的1元纸币分别有8张、6张、4张、2张、0张．所以可得以下5种凑法：
(
5
元纸币的张数
1
1
1
1
1
2
元纸币的张数
0
1
2
3
4
1
元纸币的张数
8
6
4
2
0
)
如果5元纸币有2张，那么余下的元，要由1元和2元的纸币来组成，就只有2种凑法：
(
5
元纸币的张数
2
2
2
元纸币的张数
0
1
1
元纸币的张数
3
1
)
综合以上三种情况，可知一共有种不同的付款方法．
6、汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病．医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能有的蛀牙情况共___________种．
【答案】
共21种情况
【解析】
当汤姆有1颗蛀牙时，杰瑞和德鲁比一共有颗蛀牙．此时它们的蛀牙数可能是如下情况：
(
汤姆的蛀牙数
1
1
1
1
1
1
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
5
6
德鲁比的蛀牙数
6
5
4
3
2
1
)
当汤姆有2颗蛀牙时，杰瑞和德鲁比一共有颗蛀牙．此时它们的蛀牙数可能是如下的情况：
(
汤姆的蛀牙数
2
2
2
2
2
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
5
德鲁比的蛀牙数
5
4
3
2
1
)
类似地可以枚举出汤姆的蛀牙数分别是3颗、4颗、5颗、6颗的情况，如下所示：
(
汤姆的蛀牙数
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
杰瑞的蛀牙数
1
2
3
4
1
2
3
1
2
1
德鲁比蛀牙数
4
3
2
1
3
2
1
2
1
1
)
综上所述，一共有种情况．
7、生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小高在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有___________只．
【答案】
共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4）
【解析】
不妨设第二堆的蚂蚁数量不少于第一堆的，第三堆的蚂蚁数量不少于第二堆的．
当第一堆蚂蚁有2只时，后两堆蚂蚁一共有只．则后两堆可能分别有：2只和8只，3只和7只，4只和6只，5只和5只．
当第一堆蚂蚁有3只时，后两堆蚂蚁一共有只．这三堆蚂蚁又要满足从小到大的顺序，于是后两堆可能是3只和6只，4只和5只．
当第一堆蚂蚁有4只时，这三堆蚂蚁只能都是4只．
综合以上3种情况，这3堆蚂蚁可能有以下7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4）．
(
课后作业
)
1、请你数一数，下图中一共有______个三角形．
【答案】
8
【解析】
按三角形大小分类，由一个三角形组成的有4个，由两个三角形组成的有4个，所以共有个三角形．
2、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有_______种不同的分法．
【答案】
3
【解析】
将4写成三个不为零的数的和，其中第一个位置代表第一个同学得到的铅笔数，第二个位置代表第二个同学得到的铅笔数，第三个位置代表第三个同学得到的铅笔数．，所以共有3种不同的分法．
3、老师要求墨莫把一篇英语课文抄写4遍，每天至少写1遍．那么墨莫完成这些课文共有_______种不同的可能．
【答案】
8
【解析】
将4写成若干个不为零的数的和，其中第一个位置代表第一天写的数量，第二个位置代表第二天写的数量……，所以共有8种不同的分法．
4、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有_______种．
【答案】
10
【解析】
枚举所有取出的纸币可能，，，，，，，，，，，所有共能组成10种．
5、体育馆里有很多足球、篮球和排球，体育老师要小高从里面拿3个球，至少拿两种球，请问小高有_______种不同的选择．
【答案】
7
【解析】
如果拿了两种球，可能为1足球2篮球，1足球2排球，2足球1篮球，2足球1排球，1篮球2排球，2篮球1排球，共6种选择．
如果拿了三种球，则为1足球1篮球1排球，共1种选择．
综上，共有种选择．
6、小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃光了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多．请问：每个人可能吃了几根薯条？
【答案】
共6种情况
【解析】
从条件来看，小高吃了至少6根薯条；又墨莫和卡莉娅也都至少吃了6根，总共就是12根，则最多还有根薯条给小高吃．所以小高吃的薯条根数是在6~8根之间，分情况进行讨论，那么一共有6种情况．
(
小高
6
6
6
7
7
8
墨莫
6
7
8
6
7
6
卡莉娅
8
7
6
7
6
6
)

展开更多......

收起↑