资源简介

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第4讲 寻找隐藏周期
二升三 暑期
)
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知识点
)
寻找隐藏周期（三上）
1. 解决周期问题的关键是找到周期的长度，只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．
2. 有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期．这就需要我们按照规律，把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算．
(
知识精讲
)
周期现象无处不在，日常生活中无处不在，比如：分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过7天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行等．所以学好周期问题对于我们平时生活会有很大帮助．
(
课堂例题
)
找到周期长度
1、如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里．这两个圆圈里的数的乘积是多少？
(
1
2
3
4
5
6
7
)
【答案】
12
【解析】
图中圆圈有7个位置，发现无论电子跳蚤顺时针跳还是逆时针跳，都是每跳7步后就回到原处，也就是7步一个周期．，商14说明100步中包含了14个完整的周期，也就是14圈，而余数2则表示电子跳蚤在顺时针跳了14圈回到出发点之后，还要再跳2步，到达3号圆圈．
同样的，由可知，它逆时针跳了28圈后还要再跳4步，到达4号圆圈．因此，这两个圆圈内的乘积是．
2、如图，电子跳蚤每跳一步，可跳过一个圆圈．现在，一只跳蚤按顺时针方向从1号圆圈开始跳，第1步跳到3号圈，第2步跳到5号圈，第3步跳到7号圈，依此类推．跳了100步之后，跳蚤到了哪个圈里？
(
1
7
2
3
6
5
4
)
【答案】
5
【解析】
将跳蚤跳到的数字依次写出：3，5，7，2，4，6，1，3，5，7……，可以看出每7步一周期，，所以跳了100步之后，跳蚤到了圈5里．
寻找隐藏周期-排队找周期
3、100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位．第100个同学报的是__________．
【答案】
3
【解析】
第一项为1；，则第二项为7；，则第三项是9；，则第四项是3；，则第五项是1；依此类推，得到数列如下：1，7，9，3，1，7，9，3，1，7，9，3，……从数列中观察出周期是1，7，9，3，周期长度是4．，商是25，说明数列中恰好包含25个完整周期，没有余下的数．所以第100个就是第25个周期的最后一个数 ——3，即第100个同学报3．
4、53位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？
【答案】
2
【解析】
依次写出每位同学所报之数：4，3，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8……可以看出，开始两个数字4和3不在周期内，后面数字每6个一周期．，所以最后一名同学报的是2．
5、84位同学从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一位同学报的是几？总共有多少人报的数是3？
【答案】
3，42
【解析】
将同学所报数字依次写出：1，3，3，9，7，3，1，3，3，9，7……，6个数一周期．，正好14个周期，最后一个同学报3．每个周期有3个同学报3，所以共人报3．
寻找隐藏周期-手指问题
6、如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数．当数到200的时候，正好数到哪根手指？
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
……
)
【答案】
食指
【解析】
把每个指头对应的数列成一张表．从第一行开始每2行为一个周期；2行有8个数，所以周期长度为8．，没有余数，对应一个周期中的第8个位置，且是从左向右数，即食指．
(
大拇指
食指
中指
无名指
小拇指
1
2
3
4
8
7
6
5
9
10
11
12
16
15
14
13
17
18
19
20
)
7、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到60时，共数过__________次中指．
【答案】
15
【解析】
数1的时候是大拇指，下次再数到大拇指是数9，所以8个数一个周期，每周期数2次中指．，最后不完整周期数1次中指，所以当数到60时，共数了次中指．
8、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到50时，共数过__________次大拇指．
【答案】
7
【解析】
数1的时候是大拇指，下次再数到大拇指是数9，所以8个数一个周期，每周期数1次大拇指．，最后不完整周期数1次大拇指，所以当数到50时，共数了次食指．
寻找隐藏周期
9、一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车站A、B、C、D、E、F．汽车从A出发，每到一站即停车，到达F后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A后再返回……如此往返行驶．如果汽车从出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站？
【答案】
C
【解析】
停车地点依次为B、C、D、E、F、E、D、C、B、A、B、C、D……，10次一周期．，所以第2013次停车在D站．因为每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，，上次加油后又走了5站，到达D站，所以上次加油在C站．
10、甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石，每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：拥有宝石最多的人分给其他三人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10，7，5，4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？
【答案】
甲、乙、丙、丁分别有5，6，8，7颗宝石
【解析】
甲在第二天需拿出3颗宝石分别给其他三人每人1颗，则这天结束后四个人的宝石数分别为7，8，6，5；在第三天就轮到乙拿出宝石了，这天结束后，大家的宝石数是：8，5，7，6；以此类推：从第2天开始，每4天组成一个周期，即周期长度是4．前100天中，除去第1天，还剩99天．，说明经过了24个周期，还有3天多出来．在一个周期的第3天，四个人各有宝石数为：5，6，8，7，这就是第100天时每个人的宝石数．
(
甲
乙
丙
丁
第
1
天
10
7
5
4
第
2
天
7
8
6
5
第
3
天
8
5
7
6
第
4
天
5
6
8
7
第
5
天
6
7
5
8
第
6
天
7
8
6
5
)
(
随堂练习
)
1、50位同学排成一行，从左向右报数：先让第一位同学报3，第二位同学报8，然后从第三位同学开始，每位同学都把前两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．那么最后一位同学报的是__________．
【答案】
8
【解析】
依次写出每个同学的报数：3、8、4、2、8、6、8、8、4、……观察发现，除了第1个数外，后面的数每6个数一周期，分别为“8、4、2、8、6、8”．，所以最后一个同学报的是8．
2、钟表上现在时针正对着数字2，那么121小时后时针正对着数字几？
【答案】
3
【解析】
12小时一个周期，，，所以121小时后时针正对着数字3．
3、如图，在A、B两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间．从A出发，每天走到下一站，到达B地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A站，那么第100天时它在哪个站？
(
A
1
2
……
11
B
)
【答案】
3
【解析】
第1天车在A地，下次再回到A地是24天后，即第25天，所以24天一周期，，那么第100天时它在3号站．
4、同学们从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报6，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2，再报出乘积的个位来．请问：第50位同学报的是几？
【答案】
2
【解析】
将同学所报数字依次写出：6，2，4，8，6，2，4，8……4个数一周期，，所以第50位同学报的是2．
5、我们对四位数1234的各位数字进行如下方式的交换：第1次交换千位和百位，第2次交换个位和十位，第3次交换千位和个位，第4次交换百位和十位，第5，6，7，8次的交换方式与第1，2，3，4次的相同，并如此继续下去，那么经过100次这样的交换后，所得的四位数是什么？
【答案】
3412
【解析】
依次写出每次交换完后的数：2134，2143，3142，3412，4312，4321，1324，1234，2134，2143……可以看出，每8次一周期，，所以经过100次这样的交换后，所得的四位数是3412．
(
课后作业
)
1、“我是大好人大好人……”依次重复排列，第44个字是________．（填汉字）
【答案】
人
【解析】
前两个字“我是”不在周期内，后面汉字每3个一周期，，所以第44个字是人．
2、现在时针指着钟面上的数字“3”，那么过30小时后，时针指着数字________．（填数字）
【答案】
9
【解析】
每12小时一周期，，，所以过30小时后，时针指着数字9．
3、110位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以3，再报出乘积的个位来，那么第110个同学报的是________．（填数字）
【答案】
3
【解析】
依次写出每位同学所报数字：1，3，9，7，3，1，3，9，7，3……可以看出，每5个数一周期，，所以第110个同学报的是3．
4、数列9，8，6，2 ……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，则第99个数是________．（填数字）
【答案】
2
【解析】
依次写出所得数字：9，8，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8……，可以看出，除去前两个数字，后面数字每5个一周期，，所以第99个数是2．
5、如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客．请问，第150天白雪公主在________个房子中做客．（填字母）
(
B
G
A
C
D
E
F
)
【答案】
F
【解析】
可以看出，每12天一周期，依次为ABCDEFGFEDCB，即第13天白雪公主会回到A房中．，所以第150天白雪公主在F房子中做客．(
第4讲 寻找隐藏周期
二升三 暑期
)
(
知识点
)
寻找隐藏周期（三上）
1. 解决周期问题的关键是找到周期的长度，只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．
2. 有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期．这就需要我们按照规律，把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算．
(
知识精讲
)
周期现象无处不在，日常生活中无处不在，比如：分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过7天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行等．所以学好周期问题对于我们平时生活会有很大帮助．
(
课堂例题
)
找到周期长度
1、如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里．这两个圆圈里的数的乘积是多少？
(
1
2
3
4
5
6
7
)
2、如图，电子跳蚤每跳一步，可跳过一个圆圈．现在，一只跳蚤按顺时针方向从1号圆圈开始跳，第1步跳到3号圈，第2步跳到5号圈，第3步跳到7号圈，依此类推．跳了100步之后，跳蚤到了哪个圈里？
(
1
7
2
3
6
5
4
)
寻找隐藏周期-排队找周期
3、100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位．第100个同学报的是__________．
4、53位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？
5、84位同学从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一位同学报的是几？总共有多少人报的数是3？
寻找隐藏周期-手指问题
6、如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数．当数到200的时候，正好数到哪根手指？
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
……
)
7、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到60时，共数过__________次中指．
8、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到50时，共数过__________次大拇指．
寻找隐藏周期
9、一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车站A、B、C、D、E、F．汽车从A出发，每到一站即停车，到达F后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A后再返回……如此往返行驶．如果汽车从出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站？
10、甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石，每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：拥有宝石最多的人分给其他三人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10，7，5，4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？
(
随堂练习
)
1、50位同学排成一行，从左向右报数：先让第一位同学报3，第二位同学报8，然后从第三位同学开始，每位同学都把前两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．那么最后一位同学报的是__________．
2、钟表上现在时针正对着数字2，那么121小时后时针正对着数字几？
3、如图，在A、B两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间．从A出发，每天走到下一站，到达B地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A站，那么第100天时它在哪个站？
(
A
1
2
……
11
B
)
4、同学们从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报6，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2，再报出乘积的个位来．请问：第50位同学报的是几？
5、我们对四位数1234的各位数字进行如下方式的交换：第1次交换千位和百位，第2次交换个位和十位，第3次交换千位和个位，第4次交换百位和十位，第5，6，7，8次的交换方式与第1，2，3，4次的相同，并如此继续下去，那么经过100次这样的交换后，所得的四位数是什么？
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课后作业
)
1、“我是大好人大好人……”依次重复排列，第44个字是________．（填汉字）
2、现在时针指着钟面上的数字“3”，那么过30小时后，时针指着数字________．（填数字）
3、110位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以3，再报出乘积的个位来，那么第110个同学报的是________．（填数字）
4、数列9，8，6，2 ……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，则第99个数是________．（填数字）
5、如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客．请问，第150天白雪公主在________个房子中做客．（填字母）
(
B
G
A
C
D
E
F
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