资源简介

(
第1讲 计数模块总复习
六年级 春季
)
(
本讲概述
)
枚举法、标数法、加乘原理及数字问题、排列组合、图形表格计数问题、几何计数
(
经典模块
)
枚举法：
1、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游．要走遍这三个景点，他一共有__________种不同的游览顺序．
2、小黄人每个50元，功夫熊猫每个200元．冬冬一共有600元，如果把这些钱全部用来买玩具，一共有多少种不同的买法？
3、有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．这两堆球的个数可能相差__________个．
4、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
5、在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有__________个．
标数法
6、一只甲虫沿着下图中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或向上爬一格．
（1）这只甲虫可以选择_______条不同的路线；
（2）图中C点无法通过，那么这只甲虫可以选择_______条不同的路线；
（3）图中C点必须通过，那么这只甲虫可以选择_______条不同的路线．
(
B
C
A
)
7、（2011年金帆六秋）若按着如图的箭头所示的方向沿着街道走，那么从点到点的不同路线有______条（此题无图）．
8、如图，从A地沿网络线走到B地，规定只能朝右或朝上走，如果每次可以走一步或两步，共有_________种不同的走法．
(
B
A
)
加乘原理及数字问题
9、爸爸、妈妈带小高去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：小高一共有多少种点菜方法？
10、从1，2，3，……，9，10中选出三个数，使得其中有且仅有两个数相邻，则不同的取法共有多少种？
11、一些数字问题：
（1）0、1、2、3、4可以组成__________个没有重复数字的三位数．
（2）1个0、1个1、2个2、2个3能组成_________个不同的六位数．
（3）0~6共七个数字，可以组成很多没有重复数字的四位数，3102是从小到大数的第_________个．
（4）1000~9999中含有数字5的自然数_________个．
12、从1~20中选出两个数，和是5的倍数，一种多少种选法？
13、从1~20中选出两个数，乘积是9的倍数，一共_______种选法．
14、银行ATM机取款时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作，密码是000000到999999中某一个六位数码．小勇取钱时忘记了密码，只记得密码中有1、3、5、7、9并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，他至少输入__________次密码才能保证进入下一步．
15、在所有的三位数中，能够被9整除，而且三个数字恰好能构成等差数列（可以改变顺序，如567、756）的共有__________个．
排列组合
16、计算：（1）_________；（2）_________；（3）_________；
（4）_________．
17、用0、1、2、3、4这五个数字能组成__________个没有重复数字的四位偶数．
18、有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须有一人把船划回来接剩下的人．那么四人过河有__________方式．
图形表格计数问题
19、将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于相邻方格中的数，共有__________种填法．
20、从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数，上面比下面的大，那么符合要求的共__________种．
21、如图，一个的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列中，1~6都恰好出现一次．图中已经填好了一些数字，那么剩余空格共有多少种满足要求的填法？
(
1
2
3
4
5
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
5
4
3
2
1
)
几何计数
22、图中共有_________个长方形．
23、在一个平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面分成__________个部分．
(
进门考
)
1、一个三位小数四舍五入到百分位是0.70，这些小数中最小的是_________．
2、1与的差加上0.8与的商，所得的和是_________．
3、两个自然数的倒数的和是，这两个自然数中较小的是__________．
4、__________．
5、甲乙两人加工一批零件，甲加工零件个数的，等于乙加工个数的，______加工零件个数多．
6、能同时被2、3、5整除的最小四位数是___________．
7、一种商品提价10%后，再按新的价格降低10%出售，这时的价格与原来的相比，价格是________了(填“提高”或者“降低”)．
8、一个直径是几百米的大圆，把这个圆的直径增加1米后，周长会增加_________米(π取3.14)．
9、一张长方形的纸长15厘米，宽8厘米，在这张长方形之中做一个最大的圆，这个圆的面积是_________平方厘米(π取 3.14)．
10、一个数的比除45的商少15，求这个数是___________．
(
课后作业
)
1、计算：_________．
2、计算：_________．
3、计算：___________．
4、5个人中选出2人一起去买麦当劳，一共有_________种不同的选择方法．
5、5个人选出2人分别去买麦当劳和肯德基，一共有_________种不同的选择方法．
6、从3名男生和2名女生中选出两人参加数学竞赛，至少有1名女生参加，共有_________种不同的选法．
7、4个数字1、2、3、4可以组成_____________个没有重复数字的四位数．
8、（2012迎春杯高年级组复赛）如下图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有___________种．（图中的两个圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）．
9、0、2、3、4可以组成几个没有重复数字的三位数？
10、从1~10中选出两个数的和是3的倍数，一共有多少种选法？
11、袋子里有4个红球和3个绿球，从中任取两个球，都是红球的概率是多少？(
第1讲 计数模块总复习
六年级 春季
)
(
本讲概述
)
枚举法、标数法、加乘原理及数字问题、排列组合、图形表格计数问题、几何计数
(
经典模块
)
枚举法：
1、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游．要走遍这三个景点，他一共有__________种不同的游览顺序．
【答案】
6种
【解析】
小明游览这三个旅游景点共有6种不同路线，如下图所示：
(
A
B
C
C
B
B
A
C
C
B
C
A
B
B
A
出发
A
香山
B
颐和园
C
圆明园
)
2、小黄人每个50元，功夫熊猫每个200元．冬冬一共有600元，如果把这些钱全部用来买玩具，一共有多少种不同的买法？
【答案】
4种
【解析】
我们不防设小黄人x个，功夫熊猫y个，则可得方程．
解这个方程得，或，或，或．
综上所述，一共有4种不同的买法．
3、有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．这两堆球的个数可能相差__________个．
【答案】
7种；可能相差13，11，9，7，5，3，1个
【解析】
两堆玻璃球没有次序之分，但这两堆玻璃球中一定有一堆较多而另一堆较少，或者两堆一样多（实际上不会出现两堆一样多的情况，因为玻璃球总数15是奇数）．此时较少的一堆中至少有1个球，至多有7个球，我们根据两堆之和有15个球列出下表，从表格中看出，一共有7种分球的方法，两堆中球的个数可能相差个，个，个，个，个，个，个．
(
较少一堆的球数
1
2
3
4
5
6
7
较多一堆的球数
14
13
12
11
10
9
8
)
4、妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
【答案】
8种
【解析】
7个鸡蛋，每天至少吃2个，所以肯定在1~3天的时间范围里吃完．
如果1天吃完，那只有1种可能：第一天吃了全部7个鸡蛋；
如果2天吃完，那么第一天可以吃2个、3个、4个或5个鸡蛋，第二天把剩下的吃完，也就是分别吃5、4、3、2个，一共有4种情况；
如果3天吃完，那么每天至少吃2个，3天至少吃6个，还多余一个，可以放在3天中的随便哪一天吃，所以一共有3种情况：2、2、3；2、3、2；3、2、2．
全部可能的吃法一共有种．
5、在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有__________个．
【答案】
20
【解析】
按照从小到大的顺序枚举如下：100、101、102、103、110、111、112、120、121、130、200、201、202、210、211、220、300、301、310、400．
标数法
6、一只甲虫沿着下图中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或向上爬一格．
（1）这只甲虫可以选择_______条不同的路线；
（2）图中C点无法通过，那么这只甲虫可以选择_______条不同的路线；
（3）图中C点必须通过，那么这只甲虫可以选择_______条不同的路线．
(
B
C
A
)
【答案】
（1）126（2）60（3）66
【解析】
（1）从A到B有9步，5步右，4步上，有种走法．
图中路线问题也可以采用标数法，如图．
(
B
C
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
1
0
1
0
1
5
1
5
21
20
35
35
56
70
126
)
（2）本题我们把过程分成AC、CB这两步，应用乘法原理．从A到C有4步，2步右，2步上，有种走法．从C到B有5步，3步右，2步上，有种走法．所以一共有种走法．
图中路线问题也可以采用标数法，如图．
(
B
C
A
1
1
1
1
2
3
3
6
6
6
6
6
6
12
18
18
24
36
60
)
（3）根据第（1）、（2）问，我们可用排除法，确定不经过C的走法一共有种．
图中路线问题也可以采用标数法，如图．
(
B
C
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
5
6
4
4
9
9
15
8
17
17
32
34
66
)
7、（2011年金帆六秋）若按着如图的箭头所示的方向沿着街道走，那么从点到点的不同路线有______条（此题无图）．
【答案】
55
【解析】
由加法原理，点到各点的走法数如图所示，从点到点有55种走法．
8、如图，从A地沿网络线走到B地，规定只能朝右或朝上走，如果每次可以走一步或两步，共有_________种不同的走法．
(
B
A
)
【答案】
207
【解析】
利用标数法，如图．
(
B
A
2
1
1
2
2
3
3
5
5
10
20
5
14
32
71
10
32
84
207
)
加乘原理及数字问题
9、爸爸、妈妈带小高去吃西餐．餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点．如果小高想要点1种主食和1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限．请问：小高一共有多少种点菜方法？
【答案】
48种
【解析】
小高可点的菜分成四种：主食，主菜，汤，甜点，这四种菜之间是搭配的关系．
第一步，挑选主食．餐厅里有米饭和面条这2种主食，必须从中选择一种，有2种选择方法．第二步，挑选主菜．餐厅里有3种主菜，必须从中选择一种，有3种选择方法．第三步，挑选汤．汤类虽然只有1种，但是可以点也可以不点，点与不点这恰好是2种选择方法．
第四步，挑选甜点．甜点有2种，既可以两个都选，又可以只选其一，还可以两个都不选．那么甜点的选择有4种方法：蛋糕和布丁都点，二者都不点，只点蛋糕，只点布丁．
(
2
3
2
4 = 48
主食
主菜
甜点
汤
)
根据乘法原理，得小高一共有种点菜方法．
10、从1，2，3，……，9，10中选出三个数，使得其中有且仅有两个数相邻，则不同的取法共有多少种？
【答案】
56
【解析】
1、2相邻，共7种；2、3相邻，共6种；3、4相邻，共6种；……8、9相邻，共6种；9、10相邻，共7种．综上所述，共56种．
我们可以利用插空法和乘法原理，共有种．
我们也可以用排除法解决，从10个数中任意选3个数共有种，其中任意两个数都不相邻的有种，三个数都相邻的有种．所以有且仅有两个数相邻的取法有种．
11、一些数字问题：
（1）0、1、2、3、4可以组成__________个没有重复数字的三位数．
（2）1个0、1个1、2个2、2个3能组成_________个不同的六位数．
（3）0~6共七个数字，可以组成很多没有重复数字的四位数，3102是从小到大数的第_________个．
（4）1000~9999中含有数字5的自然数_________个．
【答案】
（1）48（2）150（3）261（4）3168
【解析】
（1）利用乘法原理，首位数字不能为0，共有个没有重复数字的三位数．
（2）因为首位数字不能为0，所以先排1个0，共有个不同的六位数．
（3）千位数字分别是1和2时，都比3012小，这样的四位数共有个．当千位数字是3，百位数字是0时，也比3102小，这样的四位数有个．所以3102是从小到大的第个数．
（4）利用排除法，不含数字5的四位数有个，所以含有数字5的自然数有个．
12、从1~20中选出两个数，和是5的倍数，一种多少种选法？
【答案】
38
【解析】
1~20除以5的余数为0、1、2、3、4的各有4个，两数之和是5的倍数，这两个数除以5的余数有这三类情况：（1）余数都是0，种；（2）一个余数是1，一个余数是4，种；（3）一个余数是2，一个余数是3，种．所以总共种．
13、从1~20中选出两个数，乘积是9的倍数，一共_______种选法．
【答案】
43
【解析】
1~20中3的倍数有6个（其中9的倍数有2个），那么乘积是9的话，可以选一个9的倍数和一个非三的倍数，或者两个3的倍数，则总共28+15=43种．
14、银行ATM机取款时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作，密码是000000到999999中某一个六位数码．小勇取钱时忘记了密码，只记得密码中有1、3、5、7、9并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，他至少输入__________次密码才能保证进入下一步．
【答案】
1800
【解析】
首先选出一个重复数字，共5种方法，然后排列，共有种方法，共有种．
15、在所有的三位数中，能够被9整除，而且三个数字恰好能构成等差数列（可以改变顺序，如567、756）的共有__________个．
【答案】
37
【解析】
枚举法
三个数字的和为中间数的3倍，所以三个数的中间数只能是3或6或9，以数字3为中间数的数组为（0,3,6），（1,3,5），（2,3,4），（3,3,3），共能组成17个不同的三位数．同理，可算出中间数字是6、9的情况下分别有19个和1个符合要求的三位数，最终一共算得37个．
排列组合
16、计算：（1）_________；（2）_________；（3）_________；
（4）_________．
【答案】
（1）20（2）120（3）45（4）32
【解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17、用0、1、2、3、4这五个数字能组成__________个没有重复数字的四位偶数．
【答案】
60
【解析】
四位偶数按照末位是0和不是0分为两类：
末位是0时，另位三位从四个数字中选择有种；
末位是2或4时，千位有3种选择，百位和十位从余下三个数字中选择有种，共种．
综上所述，一共有个没有重复数字的四位偶数．．
18、有甲、乙、丙、丁四人过河，河上有一条小船，每次只能坐两个人，这样每次就必须有一人把船划回来接剩下的人．那么四人过河有__________方式．
【答案】
108
【解析】
先四人中选两人过，然后两人中一人回来；然后三人中选两人过，之后对岸三人中一人回来；最后两人过去．所以总共有．
图形表格计数问题
19、将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于相邻方格中的数，共有__________种填法．
【答案】
16
【解析】
加乘原理．
当黑格填4、5时，黑格有2种填法，白格有6种填法；当黑格填3、5时，黑格有2种填法，（黑格确定后）白格也有2种填法．所以共有．
20、从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数，上面比下面的大，那么符合要求的共__________种．
【答案】
2880
【解析】
从1~9中选出7个数字有=36种，7个数字选好之后（可以拿个例子来说，比如1~7），1填在最下面，从2~7这6个中选3个填在右边，有种选法，这时左边的3个数和右边的3个数各有2种填法．所以一共有C．
21、如图，一个的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列中，1~6都恰好出现一次．图中已经填好了一些数字，那么剩余空格共有多少种满足要求的填法？
(
1
2
3
4
5
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
5
4
3
2
1
)
【答案】
16
【解析】
中间的方格中只能填2和5，旁边的斜线只能填1和6，四个角的空白部分只能填3和4．分别填：
3和4共2种填法；2和5共2种填法；1和6共4种填法．所以共种填法．
(
1
2
3
4
5
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
5
4
3
2
1
)
几何计数
22、图中共有_________个长方形．
【答案】
153
【解析】
图1中正方形数量=图2中正方形数量+图3中正方形数量—图4中正方形数量．
．
(
图1
图2
图3
图4
)
23、在一个平面上画3个三角形、1个圆、1条直线，最多可以把平面分成__________个部分．
【答案】
46
【解析】
先画直线，把平面分成2个部分，再依次画3个三角形和1个圆，每个图形分别新增2、、、个交点，交点数与新增段数相同，每段可以增加一个部分，所以一共有个部分．
(
进门考
)
1、一个三位小数四舍五入到百分位是0.70，这些小数中最小的是_________．
【答案】
0.695
【解析】
根据四舍五入，最小的三位小数且四舍五入到百分位是0.70，则这个数最小是0.695．
2、1与的差加上0.8与的商，所得的和是_________．
【答案】
【解析】
．
3、两个自然数的倒数的和是，这两个自然数中较小的是__________．
【答案】
3
【解析】
，所以这两个自然数中较小的是3．
4、__________．
【答案】
【解析】
．
5、甲乙两人加工一批零件，甲加工零件个数的，等于乙加工个数的，______加工零件个数多．
【答案】
乙
【解析】
甲、乙加工零件的个数比是，所以乙加工零件个数多．
6、能同时被2、3、5整除的最小四位数是___________．
【答案】
1020
【解析】
，所以能整除2、3、5整除的最小四位数是1020．
7、一种商品提价10%后，再按新的价格降低10%出售，这时的价格与原来的相比，价格是________了(填“提高”或者“降低”)．
【答案】
降低
【解析】
假设商品原价是“1”，提价10%后是“1.1”，再降低10%为．因为，所以这时的价格与原来的相比，价格是降低了．
8、一个直径是几百米的大圆，把这个圆的直径增加1米后，周长会增加_________米(π取3.14)．
【答案】
3.14
【解析】
设原来大圆的直径是d，根据圆的周长公式可得，它们的周长差是米，即周长增加3.14米．
9、一张长方形的纸长15厘米，宽8厘米，在这张长方形之中做一个最大的圆，这个圆的面积是_________平方厘米(π取 3.14)．
【答案】
50.24
【解析】
长方形的宽是8厘米，所以圆的直径最大是8厘米，此时圆的面积是平方厘米．
10、一个数的比除45的商少15，求这个数是___________．
【答案】
28
【解析】
设这个数是x，根据题意，列方程得：．解得．
(
课后作业
)
1、计算：_________．
【答案】
10
【解析】
．
2、计算：_________．
【答案】
1000
【解析】
．
3、计算：___________．
【答案】
8
【解析】
．
4、5个人中选出2人一起去买麦当劳，一共有_________种不同的选择方法．
【答案】
10
【解析】
5个人中选出2人一起去买麦当劳，一共有种不同的选择方法．
5、5个人选出2人分别去买麦当劳和肯德基，一共有_________种不同的选择方法．
【答案】
20
【解析】
5个人选出2人分别去买麦当劳和肯德基，一共有种不同的选择方法．
6、从3名男生和2名女生中选出两人参加数学竞赛，至少有1名女生参加，共有_________种不同的选法．
【答案】
7
【解析】
有1名女生参加有6种，2名女生参加有1种，所以一共有7种．
7、4个数字1、2、3、4可以组成_____________个没有重复数字的四位数．
【答案】
24
【解析】
4个数字的全排列．
8、（2012迎春杯高年级组复赛）如下图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有___________种．（图中的两个圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）．
【答案】
384
【解析】
如图，若只考虑顺时针、两条线段，只能选择走1条，同理，、、、……、每两条线段只能选择走1条，同时，8条线段选定后，回路的走法就唯一确定共种走法，如果同时选择、，则点的线段会走两次，不符要求．
∴同时选择、，的选法共种，∴顺时针共种走法，对称思想，逆时针与顺时针方法数相同，∴总计192×2=384种走法．
9、0、2、3、4可以组成几个没有重复数字的三位数？
【答案】
18
【解析】
利用乘法原理，先排百位数字，再依次排十位、个位，共有个．
10、从1~10中选出两个数的和是3的倍数，一共有多少种选法？
【答案】
15
【解析】
1~10中除以3余1的数有4个，余2和余0的数各有3个，两个数的和是3的倍数，两个数除以3都余0的共3种情况；一个余1，一个余2的有12种情况，共15种．
11、袋子里有4个红球和3个绿球，从中任取两个球，都是红球的概率是多少？
【答案】
【解析】
任意取到2个红球的情况是6种，7个球任意取两个球的情况是21种，所以都是红球的概率是．

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