资源简介

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第3讲 数论模块总复习
六年级 春季
)
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本讲概述
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整除问题、质数与合数、约数与倍数、余数问题等
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经典模块
)
一、整除问题
1、一个五位数，空格中的数未知．请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是__________．
（2）如果该数能被55整除，这个五位数是__________．
2、六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？
3、2011年，海淀区，某顶级大学附中）已知是396的倍数，其中、、分别代表不同的数字．请问：三位数是．
二、质数与合数
4、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？
5、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．
6、请把下面的数分解质因数：（1）999；（2）10101．
7、算式计算结果的末尾有__________个连续的0．
8、的末尾有_______个连续的0．
9、三个质数的乘积恰好等于它们和的7倍，这三个质数是_______．
三、约数、倍数
10、（1）下列各数有几个约数？
36；360；3600；36000000000；
（2）26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
11、26460的所有约数中，6的倍数有__________个，与6互质的有__________个．
12、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是__________．
13、一个两位数，其最小的三个约数之和是32，那么这个两位数最大的三个约数之和是_______．
14、三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10．那么这三个自然数分别是多少？
四、公约数、公倍数
15、用短除法计算：（1）（54，90），[54，90]；（2）（45，75，90）．
16、利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．
（1）144和250 （2）240、80和96
17、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数分别是多少？
五、余数问题
18、一个两位数去除252，得到的余数是42，这个两位数是_______．
19、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是_______．
（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是_______．
（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是_______．
20、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩_______个．
六、进位制
21、一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数的十进制表示是多少？
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进门考
)
1、一公顷是________平方米．
2、计算：__________．
3、3.14，π，，31.5%，中，最大的数是_________．
4、循环小数1.1234812348……用简便方法记作______________．
5、有8个同学走到一起，他们两两握手一次，问一共握手__________次．
6、已知圆柱和圆锥的高相等，底面积的比是，那么它们的体积比是_________．
7、18、12的最小公倍数为_________．
8、_________．
9、某班有50名学生，他们中间至少有_______个人的生日在同一个月．
10、一个量筒，盛有400毫升的水，放入4颗半径相等的钢珠后，水面上升到480毫升的地方．每颗钢珠的体积是________立方厘米．
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课后作业
)
1、已知是9的倍数，那么A是________．
2、已知是8的倍数，那么A是________．
3、已知是11的倍数，那么A是________．
4、一个六位数能被72整除，其中a、b互异．那么这样的最小是________．
5、已知两个质数的和是31，那么这两个质数的乘积是________．
6、把72个苹果和138个桔子平均分给若干个同学，且没有任何剩余，那么最多可以分给________个同学．
7、王明是个初中生（年龄大于10岁），有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910．王明的成绩是__________．
8、1234567除以9的余数是__________．
9、是一个完全平方数，那么□中的数至少是多少？
10、有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：105就满足上述要求，；；．请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？
11、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为8的数称为“末日数”，那么不超过100的“末日数”有多少个？(
第3讲 数论模块总复习
六年级 春季
)
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本讲概述
)
整除问题、质数与合数、约数与倍数、余数问题等
(
经典模块
)
整除问题
1、一个五位数，空格中的数未知．请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是__________．
（2）如果该数能被55整除，这个五位数是__________．
【答案】
（1）86256（2）85250
【解析】
（1）能被72整除的数，即能被8和9整除．若能被8整除，个位应填6．再考虑能被9整除，千位应填6．因此这个五位数是86256．（2）能被55整除，即能被5和11整除．若能被5整除，个位应填0或5．当个位填0时，若能被11整除，千位应填5．当个位填5时，千位无论填几都不满足条件，因此满足条件的数为85250．
2、六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？
【答案】
120087
【解析】
用两位截断法，把分成三段就是、00、，它们的和要能被99整除，只能是，所以原来的六位数是120087．
3、2011年，海淀区，某顶级大学附中）已知是396的倍数，其中、、分别代表不同的数字．请问：三位数是．
【答案】
22
【解析】
是396的倍数，也就是说可被4、9、11整除．首先能判断被4整除的只能是．其次，若被9整除，则，且不能被11整除，则除被4整除外还需被11整除，可以发现为，与题目要求的“、、分别代表不同的数字”相互矛盾，不可行；所以考虑若被11整除，则，且不能被9整除，则除被4整除外还需被9整除，所以可以为5004或9000．所以为548或908．
质数与合数
4、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？
【答案】
可能为（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）
【解析】
小于50的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、发现只有一 个偶数2，所以一定包含2，另外两个为奇数，且和为50,、．
5、请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．
【答案】
见解析
【解析】
（1）；（2）；（3）373是质数；（4）．
6、请把下面的数分解质因数：（1）999；（2）10101．
【答案】
（1）（2）
【解析】
（1）；（2）．
7、算式计算结果的末尾有__________个连续的0．
【答案】
24
【解析】
末尾连续的0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关，结果中质因数的个数又与乘积中质因数的个数有关．因为2的个数要比5的个数多，所以0的个数等于5的个数．乘积中5的倍数有20个，25的倍数有4个，所以质因数5的个数有个．末尾有24个连续的0．
8、的末尾有_______个连续的0．
【答案】
501
【解析】
层除法，，，，，，．即算式的结果末尾有501个连续的0．
9、三个质数的乘积恰好等于它们和的7倍，这三个质数是_______．
【答案】
3、5、7
【解析】
显然，这三个质数中一定有7，设这三个质数为a、b、7，则，转化为．简单试算，可知答案是3、5、7．
约数、倍数
10、（1）下列各数有几个约数？
36；360；3600；36000000000；
（2）26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
【答案】
（1）9，24，45，360（2）36，6
【解析】
（1），因数个数；
，因数个数个；
，因数个数个；
，因数个数个．
（2），约数是6的倍数，则因数2可以选1个或2个，因数3可以选1个、2个或3个，5和7可以任意选，因此共有个；
与6互质的因数不含有因数2和3，因数5和7可以任意选，共有个．
11、26460的所有约数中，6的倍数有__________个，与6互质的有__________个．
【答案】
36个；6个
【解析】
，约数是6的倍数，则因子2可以选或，因子3可以选、或，5和7可以任意选，因此共有个．与6互质的约数不含有2和3，因子5和7可以任意选，共有个．
12、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是__________．
【答案】
74
【解析】
最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约数的倍数．，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．
13、一个两位数，其最小的三个约数之和是32，那么这个两位数最大的三个约数之和是_______．
【答案】
89
【解析】
最小的三个因数必定包含1，另外两个的和为31，必定是一奇一偶，因此含有因数2，还剩下一个是29；所以这个两位数是58，其最大的三个约数分别是58、29、2，它们的和是．
14、三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10．那么这三个自然数分别是多少？
【答案】
30、36、80
【解析】
，，，．易知约数个数为9的其形式为，约数个数为10的其形式为，约数个数为8的其形式为或．经试验，只有30、36、80满足要求．
公约数、公倍数
15、用短除法计算：（1）（54，90），[54，90]；（2）（45，75，90）．
【答案】
（1）18，270（2）15
【解析】
（1），所以，．
（2），所以．
16、利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．
（1）144和250 （2）240、80和96
【答案】
（1），（2），
【解析】
（1），，，．
（2），，，，．
17、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数分别是多少？
【答案】
54、72
【解析】
，将12分解成互质且不成倍数关系的两数，只能是．
因此要求的两数是和．
余数问题
18、一个两位数去除252，得到的余数是42，这个两位数是_______．
【答案】
70
【解析】
252与42的差210是这个两位数的倍数，而除数要比余数大，所以这个两位数要大于42，小于100，所以这个两位数是70．
19、（1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是_______．
（2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是_______．
（3）一个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是_______．
【答案】
（1）122（2）104（3）56
【解析】
（1）这个数除以6和8的余数都是2，因此除以24的余数也是2，这样的数有2、26、50、74、98、122、……，其中最小的三位数是122；
（2）这个数加上1之后，恰好能被3、5、7整除，即能被105整除，所以最小是104；
（3）满足除以11余1的数有1、12、23、34、45、56、……，其中满足除以6余2最小的是56．
20、一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个；如果9个一包，最后还剩8个；…；如果5个一包，最后还剩4个．那么如果13个一包，最后还剩_______个．
【答案】
8
【解析】
小球的数目加上1之后，正好能被10、9、8、7、6、5整除，也能被它们的最小公倍数5040整除，因此小球的数目是5039，除以13余8．
进位制
21、一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．这个自然数的十进制表示是多少？
【答案】
248
【解析】
设这个自然数的七进制表达式为，那么它的九进制表达式为，有，展开后化简得．考虑到a、b、c都小于7，有唯一解，，．．
(
进门考
)
1、一公顷是________平方米．
【答案】
10000
【解析】
1公顷=10000平方米．
2、计算：__________．
【答案】
【解析】
3、3.14，π，，31.5%，中，最大的数是_________．
【答案】
【解析】
，，，所以最大的数是．
4、循环小数1.1234812348……用简便方法记作______________．
【答案】
【解析】
．
5、有8个同学走到一起，他们两两握手一次，问一共握手__________次．
【答案】
28
【解析】
，所以8个人两两握手一次，一共握手28次．
6、已知圆柱和圆锥的高相等，底面积的比是，那么它们的体积比是_________．
【答案】
【解析】
根据复合比，圆柱、圆锥的体积比是．
7、18、12的最小公倍数为_________．
【答案】
36
【解析】
．
8、_________．
【答案】
1
【解析】
．
9、某班有50名学生，他们中间至少有_______个人的生日在同一个月．
【答案】
5
【解析】
，所以至少有5个人的生日在同一个月．
10、一个量筒，盛有400毫升的水，放入4颗半径相等的钢珠后，水面上升到480毫升的地方．每颗钢珠的体积是________立方厘米．
【答案】
20
【解析】
水面上升的体积即4颗钢珠的体积，所以每颗钢珠的体积是立方厘米．
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课后作业
)
1、已知是9的倍数，那么A是________．
【答案】
4
【解析】
一个数是9的倍数，则它的数字和是9的倍数．，所以．
2、已知是8的倍数，那么A是________．
【答案】
6
【解析】
一个数是8的倍数，则它的末三位数是8的倍数，496是8的倍数，所以．
3、已知是11的倍数，那么A是________．
【答案】
2
【解析】
一个数是11的倍数，则它的奇位数字和与偶位数字和的差是11的倍数，，所以．
4、一个六位数能被72整除，其中a、b互异．那么这样的最小是________．
【答案】
36
【解析】
这个六位数能被72整除，则能被8和9整除．能被9整除，根据弃九法，则能被9整除，满足条件的数依次有09、18、27、36、45、54、……，其中369936能被8整除．所以最小的是36．
5、已知两个质数的和是31，那么这两个质数的乘积是________．
【答案】
58
【解析】
两个质数的和是31，则必一奇一偶，偶数是2，奇数是29，它们的乘积是．
6、把72个苹果和138个桔子平均分给若干个同学，且没有任何剩余，那么最多可以分给________个同学．
【答案】
6
【解析】
把72和138正好分完且没有剩余，则必须是它们的公因数．，所以最多可以分给6个同学．
7、王明是个初中生（年龄大于10岁），有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910．王明的成绩是__________．
【答案】
97
【解析】
，因为年龄大于10岁，所以是15岁，第2名，97分．
8、1234567除以9的余数是__________．
【答案】
1
【解析】
一个数除以9的余数，只要分别看这个数的数字和除以9的余数即可．，，所以1234567除以9的余数是1．
9、是一个完全平方数，那么□中的数至少是多少？
【答案】
21
【解析】
，所以只要是即可．
10、有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：105就满足上述要求，；；．请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？
【答案】
5个
【解析】
一个数能表示成5个连续自然数的和，则这个数应为5的倍数．能表示成6个连续自然数的和，则这个数应为3的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为6的倍数．能表示成7个连续自然数的和，则这个数应为7的倍数．满足条件的数有105，315，525，735，945，共5个．
11、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为8的数称为“末日数”，那么不超过100的“末日数”有多少个？
【答案】
11
【解析】
除以9余8的数即经过多次操作，可以变为8．1到100中，除以9余8的数共11个．

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