资源简介

(
第1讲 数阵图初步
三年级 春季
)
(
知识点
)
数阵图初步（三下）
1、 数阵图相关概念．
（1）数阵图就是将一些数按照一定规律排列而成的图形，有时也简称数阵．
（2）一般来说，数阵图按照图形结构可以划分为三类：封闭性数阵图、辐射性数阵图和复合型数阵图．无论哪一种数阵图，填数的方法和技巧都是一样的．
2、 数阵图的特点．
（1） 每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等．这个相等的和也被称为“公共和”．
（2）如果数阵图中完全没有任何数，可以先想办法计算公共和．
3、 解数阵图问题的一般思路．
（1）求出条件中若干已知数字的和；
（2）从关键的位置和关键的数入手分析．根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数；如果数阵图中有若干个相等的和，可以把其中某几个和累加起来，或比较有公共部分的两个相等的和．
（3）重数分析法．重数就是该位置上的数被计算的次数．确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数．有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的．
（4）计算．数各圆圈使用的次数，通过设未知数，计算所有数的总和（有时是所有数和的2倍，有时是一部分数的和）与各分支和，然后用枚举法进行讨论．
4、 有时会用到这样的技巧．
（1）分组——搭配（大数配小数）——调整——平衡
（2）注意能使用什么数和要满足什么条件．特别注意其中的大数和小数．有时想大数能填在哪儿，这可以作为突破口．
(
课堂例题
)
1、在图中的3个空白内填入不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数的和等于11．
(
2
5
1
)
【答案】
(
2
5
4
1
6
3
)
【解析】
因为三角形每条边上的三个数的和等于11，所以，，，所以可得如下图所示填法．
(
2
5
1
A
C
B
2
5
4
1
6
3
)
2、在右图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数之和相等．现在已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将补充完整．
(
1
7
6
16
9
)
【答案】
21
【解析】
因为正方形每条边上三个数之和相等，所以，所以，．正方形每条边上三个数之和为．
(
1
7
6
16
9
4
8
13
1
7
6
16
9
A
B
C
)
3、将1—9这九个数分别填入右图中○内，使得图中的三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的三个，请你在图中填出剩下的数．
(
6
5
9
)
【答案】
(
6
5
9
3
8
1
7
2
4
)
【解析】
从两个顶点分别为5和6的三角形出发，得出另一个顶点为4，然后逐步推出答案．
(
6
5
9
3
8
1
7
2
4
)
4、如图所示，将1~7填入图中的7个圆圈内，使三条直线上三个圆圈内所填数之和都是12.中间数是________________．
(




)
【答案】
4
【解析】
中间的数字被加了3遍，所以中间的数是．
5、把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等．中心圆圈有哪几种填法？
【答案】
3种，分别为1、4、7
【解析】
7个数之和为，7个数之和再加中间数的2倍为三条直线的总和，应为3的倍数，所以中间数可能为1、4、7，三条直线总和为30、36、42．
6、在下图的圆圈中填入合适的数使得每条直线（共6条）上的数之和都等于16．
(
4
)
【答案】
(
4
4
4
8
8
8
)
【解析】
因为每条直线上的数之和都为16，所以，，所以．同理可得，．三条直线上各数之和为，而每个数用了两次，所以，．依次可得，，所以可得如下图所示填法．
(
4
4
4
8
8
8
4
e
d
a
c
b
)
7、（2013走美杯三年级初赛）将1、2、3、4、5、6这6个数字填入下图的6个圆圈中，使每条线上三个数字之和都等于10．
【答案】
见解析
【解析】
，，说明三个顶点上填的三个数之和为，只有1、3、5可以位于顶点位置．
(
3
2
5
4
6
1
)
8、（2015走美杯三年级初赛）在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使各边上的三个数字的和相等，称这个和为三角形边幻和．这样的三角形边幻和可以取到的值分别为________________．
【答案】
9、10、11、12
【解析】
6个数字和为，有3个圆圈的数被用2次，所以幻和最大为，最小为．所以幻和可以取到9、10、11、12四个值．验证可知，这四个幻和均可取到，如下图所示．综上，这样的三角形边幻和可以取到的值分别为9、10、11、12．
(
2
3
1
5
4
6
3
5
1
4
2
6
)
(
6
4
2
5
1
3
6
5
4
3
1
2
)
9、把1至8分别填入下图的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．
【答案】
本题答案并不唯一
【解析】
先把9写成两个数的和，枚举以下只能是，这恰好是1~8．正好是（1、8）、（2、7）、（3、6）、（4、5）四组．我们把这四组数依次填入表中，如图所示．
(
1
2
3
4
8
7
6
5
)
但此时行和18的条件还未满足．所以我们适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行和18了．
(
1
7
6
4
8
2
3
5
)
本题答案并不唯一，随便交换某两列的位置，或是调整两行的顺序，答案都是对的．
10、把1至8填入下面“十一”图形的八个空格内，使得每一条直线上的三个数之和相等．
【答案】
(
4
3
6
8
2
5
7
1
)（答案不唯一）
【解析】
1至8的和为，再加上十字中间数，应为3的倍数，所以十字中间数可能为3或6．以中间为3为例，则每条直线上各数和为，可得如下填法．
(
4
3
6
8
2
5
7
1
)
11、把1~11这11个数分别填入下图中“六一”图形的11个空格内，使得每一条直线上的2个或3个数之和都相等．
【答案】
答案不唯一，例如
(
9
6
1
5
11
4
7
8
2
3
10
4
10
3
7
5
9
6
8
1
2
11
4
10
1
9
11
3
6
8
2
5
7
)
【解析】
所有数的和等于．又5条直线和相加等于所有数的和再加上方格A，即：．发现只有当或时，才能是某个整数的5倍．
当时，每条直线的和为，图1和图2的填法都满足要求；当时，每条直线的和为，图3的填法满足要求．
(
9
6
1
5
11
4
7
8
2
3
10
图
3
4
10
3
7
5
9
6
8
1
2
11
图
2
4
10
1
9
11
3
6
8
2
5
7
图
1
)
12、把1至6分别填入下图的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．（1）这个和最大是多少？（2）最小是多少？
【答案】
见解析
【解析】
与前面的题目类似，我们还是来考虑行列的总和与所有数的和之间的关系．这道题与前面例题的不同点在于，并不能通过所有数的和直接求出行和或列和．意到图中有一个特别的地方，就是行与列交叉处的公共方格，我们把这个方格记为A如图1所示．在计算行和与列和的时候都会用到A．如果我们把行和与列和相加，这个方格会算到两次，而其它方格只算到1次．换句话讲，就是两倍的公共和恰好等于所有数的和在加上A．写成算式就是：所有数的和是固定的，因此要让横行、竖列的和最大或最小，A就应该尽量大或尽量小．我们就从此入手进行求解．由分析可知，想要公共和尽量大或者尽量小，A就应该相应地取最大或最小．所有数的和；A最小填1，此时两倍的公共和是，公共和，具体填法如图2所示．A最大填6，此时两倍的公共和是．但27除以2除不尽．因此A最大填5，公共和为，具体填法如图3所示．
(
图
1
A
) (
4
1
6
2
3
5
图
2
) (
2
5
6
1
3
4
图
2
)．
(
随堂练习
)
1、在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相等．现在已经填入五个数，请将补充完整．
(
10
4
12
16
3
)
【答案】
(
10
4
12
16
3
7
1
8
2
)
【解析】
因为，所以，，每条线上三数和为，所以，，，可得如下图所示答案．
(
10
4
12
16
3
7
1
8
2
10
4
12
16
3
A
C
D
B
)
2、在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于14．
(
1
5
2
3
)
【答案】
(
8
1
5
2
3
4
7
6
)
【解析】
因为正方形每条边上的三个数之和都等于14，所以右上角为，右下角为，左下角为，最后一个空为．
(
8
1
5
2
3
4
7
6
)
3、将0至11这12个自然数填入下图的方格中，使得各列上的两个数之和都相等，各行上的六个数之和也相等．（行的和与列的和可以不相等）
【答案】
(
11
1
9
3
4
5
0
10
2
8
7
6
)（答案不唯一）
【解析】
所有数的和为，所以每列两数和为，每行六数和为．将12个数大配小分成6组：（0，11）（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6），每列填入一组，再上下调整，使每行六个数和为33．如下图所示，即为一种填法．
(
11
1
9
3
4
5
0
10
2
8
7
6
)
4、萱萱把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的七个方框里，每个数只填一次．使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15．请给出一种填法．
【答案】
(
1
4
3
5
7
2
6
)
【解析】
所有数之和为，而三条直线上三个数之和为，差值是因为中间数被多加了2次，所以中间数为．试算可知，，，，可得如下填法．
(
1
4
3
5
7
2
6
)
(
课后作业
)
1、把1至12分别填入所示六角星图案的十二个圆圈中，使得每条直线上四个数之和相等．现在已经填好了七个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整．
(
6
2
7
5
1
3
8
)
【答案】
26
【解析】
首先观察包含A的两条线段上的数字和，它们都含有A，一条上还有6、2、7这三个数；另一条上还有5、1、B这三个数，因此我们可以得到，则，且每条线段上各数之和应该是．同样可得．可得如下图所示填法．
(
6
3
2
7
8
1
5
10
11
9
6
3
2
7
8
1
5
10
A
B
4
12
)
2、在下图的四块空白区域中分别填上2、4、6、8四个数，使得每个大圆内四个数之和都等于14．那么A格中填入的数字是________．
(
A
1
3
5
)
【答案】
8
【解析】
因为每个大圆内四个数之和都等于14，所以所有圆的和为．1、3、5在两个圆内，而中间数字在三个圆内，所以中间数字为．所以．
(
1
3
5
4
6
2
8
)
3、如图，把1至9填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数的和分别是8、13、16、17．那么心形边界上的四个数字的乘积最小是________．
【答案】
60
【解析】
，这四条旋臂上总和是，差了中间数的3倍，所以中间数为．，，，．所以心形边界上的四个数字的乘积最小是．
4、将1～6填入下图的6个○中，使得任何形如倒三角形状的3个○中的数，上面2个○中数的差（大数减小数）恰好等于下面○中的数．最下面的圆圈中填入数字________．
(
6
2
)
【答案】
3
【解析】
右上角为，剩下三个空中试填可知，1只能在左上角，依次填出其他数字，可得如下图所示填法．最下面的圆圈中填入数字为3．
(
6
4
1
2
5
3
)
5、把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．A格中的数字最大可以填________．
(
A
)
【答案】
5
【解析】
，的和为3的倍数，所以A最大为5．当时，可得如下填法，说明成立，所以A格中的数字最大可以填5．
(
2
5
1
3
4
6
)
6、把1至8填入下面的圆圈内，使得每条线段上的数之和都相等．A格中的数字最大可以填________．
(
A
)
【答案】
6
【解析】
，的和为3的倍数，所以A最大为6．当时，可得如下填法，说明成立，所以A格中的数字最大可以填6．
(
6
2
8
3
7
1
4
5
)
7、如下图，4个圆共被分成12个区域，其中已有6个区域内填有数，请将1～12中的另6个数填入其他区域内，使得每个圆中4个数的和都是25．
(
7
5
11
2
9
12
)
【答案】
(
7
5
11
2
9
12
8
6
4
3
10
1
)
【解析】
因为每个圆内的数字和相等，所以，化简得．剩余数字中，只有符合要求．同理，，应为，依次填出各数，可得如下填法．
(
7
5
11
2
9
12
8
6
4
3
10
1
7
5
11
2
9
12
d
c
b
a
e
)
8、在图中所示的小圆圈内，分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字，其中4已经填入．
(
8
1
4
)
【答案】
(
4
6
7
5
3
8
1
2
)
【解析】
假设7在a位置，则，那么3只能在b位置，5应与4相连，而不符合题意，所以7只能与4相连．，那么5也只能与4相连．再依次填出其他数，可得如下图所示填法．
(
4
6
7
5
3
8
1
2
4
b
8
1
a
)
9、如图，请将1～10这十个数填入圆圈内，使外面5个三角形中的数的和相等，且这个和为19．
(
4
1
9
2
)
【答案】
(
6
8
10
1
5
4
9
3
7
2
)
【解析】
，，所以，．再依次填出其他数，可得如下图所示填法．
(
6
8
10
1
5
4
9
3
7
2
a
b
1
4
9
c
2
)(
第1讲 数阵图初步
三年级 春季
)
(
知识点
)
数阵图初步（三下）
1、 数阵图相关概念．
（1）数阵图就是将一些数按照一定规律排列而成的图形，有时也简称数阵．
（2）一般来说，数阵图按照图形结构可以划分为三类：封闭性数阵图、辐射性数阵图和复合型数阵图．无论哪一种数阵图，填数的方法和技巧都是一样的．
2、 数阵图的特点．
（1） 每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等．这个相等的和也被称为“公共和”．
（2）如果数阵图中完全没有任何数，可以先想办法计算公共和．
3、 解数阵图问题的一般思路．
（1）求出条件中若干已知数字的和；
（2）从关键的位置和关键的数入手分析．根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数；如果数阵图中有若干个相等的和，可以把其中某几个和累加起来，或比较有公共部分的两个相等的和．
（3）重数分析法．重数就是该位置上的数被计算的次数．确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数．有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的．
（4）计算．数各圆圈使用的次数，通过设未知数，计算所有数的总和（有时是所有数和的2倍，有时是一部分数的和）与各分支和，然后用枚举法进行讨论．
4、 有时会用到这样的技巧．
（1）分组——搭配（大数配小数）——调整——平衡
（2）注意能使用什么数和要满足什么条件．特别注意其中的大数和小数．有时想大数能填在哪儿，这可以作为突破口．
(
课堂例题
)
1、在图中的3个空白内填入不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数的和等于11．
(
2
5
1
)
2、在右图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数之和相等．现在已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将补充完整．
(
1
7
6
16
9
)
3、将1—9这九个数分别填入右图中○内，使得图中的三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的三个，请你在图中填出剩下的数．
(
6
5
9
)
4、如图所示，将1~7填入图中的7个圆圈内，使三条直线上三个圆圈内所填数之和都是12.中间数是________________．
(




)
5、把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等．中心圆圈有哪几种填法？
6、在下图的圆圈中填入合适的数使得每条直线（共6条）上的数之和都等于16．
(
4
)
7、（2013走美杯三年级初赛）将1、2、3、4、5、6这6个数字填入下图的6个圆圈中，使每条线上三个数字之和都等于10．
8、（2015走美杯三年级初赛）在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使各边上的三个数字的和相等，称这个和为三角形边幻和．这样的三角形边幻和可以取到的值分别为________________．
9、把1至8分别填入下图的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．
10、把1至8填入下面“十一”图形的八个空格内，使得每一条直线上的三个数之和相等．
11、把1~11这11个数分别填入下图中“六一”图形的11个空格内，使得每一条直线上的2个或3个数之和都相等．
12、把1至6分别填入下图的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等．（1）这个和最大是多少？（2）最小是多少？
(
随堂练习
)
1、在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相等．现在已经填入五个数，请将补充完整．
(
10
4
12
16
3
)
2、在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于14．
(
1
5
2
3
)
3、将0至11这12个自然数填入下图的方格中，使得各列上的两个数之和都相等，各行上的六个数之和也相等．（行的和与列的和可以不相等）
4、萱萱把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的七个方框里，每个数只填一次．使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15．请给出一种填法．
(
课后作业
)
1、把1至12分别填入所示六角星图案的十二个圆圈中，使得每条直线上四个数之和相等．现在已经填好了七个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整．
(
6
2
7
5
1
3
8
)
2、在下图的四块空白区域中分别填上2、4、6、8四个数，使得每个大圆内四个数之和都等于14．那么A格中填入的数字是________．
(
A
1
3
5
)
3、如图，把1至9填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数的和分别是8、13、16、17．那么心形边界上的四个数字的乘积最小是________．
4、将1～6填入下图的6个○中，使得任何形如倒三角形状的3个○中的数，上面2个○中数的差（大数减小数）恰好等于下面○中的数．最下面的圆圈中填入数字________．
(
6
2
)
5、把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．A格中的数字最大可以填________．
(
A
)
6、把1至8填入下面的圆圈内，使得每条线段上的数之和都相等．A格中的数字最大可以填________．
(
A
)
7、如下图，4个圆共被分成12个区域，其中已有6个区域内填有数，请将1～12中的另6个数填入其他区域内，使得每个圆中4个数的和都是25．
(
7
5
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2
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12
)
8、在图中所示的小圆圈内，分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字，其中4已经填入．
(
8
1
4
)
9、如图，请将1～10这十个数填入圆圈内，使外面5个三角形中的数的和相等，且这个和为19．
(
4
1
9
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)

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