资源简介

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第
8
讲 数列规律计算
四年级 暑期
)
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知识点
)
等差数列初步（三上）
数列规律计算（四上）
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方法精讲
)
我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题． 本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，… 这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看． 又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，… 奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析． 首先让我们来寻找以下数列的规律． 找规律 （1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12； （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．
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课堂例题
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等差数列公式复习
1、一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？
2、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的第20项为________．
3、一个等差数列的首项为12，第7项为90，129是第__________项．
4、阿呆和阿瓜同一天开始看书，阿呆第一天看了10页，以后每天多看2页．阿瓜第一天看了33页，以后每天少看3页．10天后，看得页数多的人比看得页数少的人多看________页．
等差数列和常数列组合求和．
5、观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6，…，50．请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是10？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？
6、观察数列的规律：3，92，3，89，3，86，3，83，3，80，3，77，3，74，3，71，3，68，…，8．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？
等差数列和周期数列组合求个数
7、观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18，…，50．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？
8、观察数列的规律：1，92，5，89，6，86，7，83，1，80，5，77，6，74，7，71，1，68，…，8．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是5？（2）这个数列所有项的总和是多少？
9、观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，97,98,99,100，那么这个数列一共有_____________数．
等差数列和等差数列组合求个数
10、观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？
11、观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18，…，19．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？
12、观察数列的规律：1，2，3，3，4，5，5，6，7，7，8，9，…，97，98，99．请回答下面问题：（1）这个数列一共有多少个数？（2）41在数列中第一次出现是第几个数？
数组求和
13、观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．
14、一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？
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随堂练习
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1、观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是4？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？
2、观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？
3、观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？
4、观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，那么这个数列的第24个数是__________．
5、观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么前10组中所有数的和是_____________．
6、观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．
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课后作业
)
1、已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．那么这个数列中所有数的和是_______．
2、1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，那么这个数列中所有数的总和是_______．
3、2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，那么这个数列中所有数的和是_______．
4、观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，三个数为一组，其中10第一次出现的那一组的三个数之和是_______．
5、观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，该数列中所有数的总和是_________．(
第
8
讲 数列规律计算
四年级 暑期
)
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知识点
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等差数列初步（三上）
数列规律计算（四上）
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方法精讲
)
我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题． 本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，… 这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看． 又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，… 奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析． 首先让我们来寻找以下数列的规律． 找规律 （1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12； （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．
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课堂例题
)
等差数列公式复习
1、一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？
【答案】
6
【解析】
第5项和第16项相差个公差，相差，所以公差为．
2、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的第20项为________．
【答案】
51
【解析】
首项和第9项相差个公差，相差，所以公差为．所以等差数列第20项为．
3、一个等差数列的首项为12，第7项为90，129是第__________项．
【答案】
10
【解析】
首项和第7项相差，等于个公差，所以公差为．129和首项相差，等于个公差，所以129是这个等差数列的第项．
4、阿呆和阿瓜同一天开始看书，阿呆第一天看了10页，以后每天多看2页．阿瓜第一天看了33页，以后每天少看3页．10天后，看得页数多的人比看得页数少的人多看________页．
【答案】
5
【解析】
阿呆每天看的页数为首项为10，公差为2，项数为10的等差数列，所以阿呆最后一天看了页，共看了页．同理，阿瓜每天看的页数为首项为33，公差为3，项数为10的等差数列，所以阿瓜最后一天看了页，共看了页．所以，看得页数多的人比看得页数少的人多看5页．
等差数列和常数列组合求和．
5、观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6，…，50．请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是10？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？
【答案】
1项；1775
【解析】
（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．
6、观察数列的规律：3，92，3，89，3，86，3，83，3，80，3，77，3，74，3，71，3，68，…，8．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
29；1537
【解析】
数列的奇数位都是3，偶数位是等差数列共有，偶数为没有3，所以共有29个3，所有数的和是．
等差数列和周期数列组合求个数
7、观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18，…，50．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
9项；699
【解析】
（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有项，所以奇数项也有25项，，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．
8、观察数列的规律：1，92，5，89，6，86，7，83，1，80，5，77，6，74，7，71，1，68，…，8．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是5？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
7；1583
【解析】
（1）奇数项是1、5、6、7这样循环，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有，所以奇数项也有29项，其中共有7个5，偶数项么有5，所以共有7个5（2）总和是．
9、观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，97,98,99,100，那么这个数列一共有_____________数．
【答案】
132
【解析】
四个数一组，每一组的第一个数字分别是1、4、7、10……97这里边一共有个数，所以一共有33组，每一组有4个数字，所以一共有个数．
等差数列和等差数列组合求个数
10、观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？
【答案】
59项或40项
【解析】
奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有项，所以奇数项也有20项，共有40项．
11、观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18，…，19．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
37项；532
【解析】
（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是；偶数项的最后一项是，所以偶数项之和是，所有项的总和是．
12、观察数列的规律：1，2，3，3，4，5，5，6，7，7，8，9，…，97，98，99．请回答下面问题：（1）这个数列一共有多少个数？（2）41在数列中第一次出现是第几个数？
【答案】
147；41
【解析】
（1）去掉3、5、7、9……99，等数剩下的数是1-98，所以共有个数（2）41第一次出现应该是在39、40、41，去掉3、5、7、9……41，剩余的数是1-40，共有60个数，所以41第一次出现是第41个数．
数组求和
13、观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．
【答案】
33；195
【解析】
（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是（10，11，12），三个数的和是；（2）第1组三个数的和是，第2组三个数的和是，依次类推，前10组所有数的和是．
14、一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？
【答案】
16；11次
【解析】
（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是；（2）因为组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．
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随堂练习
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1、观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是4？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？
【答案】
31；585
【解析】
（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是，奇数项的和是，所以所有项的总和是．
2、观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
7；269
【解析】
（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有项，所以奇数项也有15项，，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是，偶数项的和是，所以所有项的总和是．
3、观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？
【答案】
39项；610
【解析】
（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是；偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是，所有项的总和是．
4、观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，那么这个数列的第24个数是__________．
【答案】
21
【解析】
每8个数会重复1个，24个数一共重复3个，所以第24个数是21．
5、观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么前10组中所有数的和是_____________．
【答案】
390
【解析】
把每一组的和求出分别是：12、18、24……是公差为6的等差数列，所以第10组的和是，利用等差数列求和公式前10组的和是．
6、观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．
【答案】
48；690
【解析】
（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是（15，16，17），三个数的和是；（2）第1组三个数的和是，第2组三个数的和是，依次类推，前20组所有数的和是．
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课后作业
)
1、已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．那么这个数列中所有数的和是_______．
【答案】
20；175
【解析】
（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为，所有数之和为175．
2、1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，那么这个数列中所有数的总和是_______．
【答案】
7；504
【解析】
（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为，奇数项总和为，所有数之和为504．
3、2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，那么这个数列中所有数的和是_______．
【答案】
22；330
【解析】
（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是，所有偶数项之和是，所有数之和为330．
4、观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，三个数为一组，其中10第一次出现的那一组的三个数之和是_______．
【答案】
8；27
【解析】
先看第一个问题，每组第1个数分别为1，2，3，…，第8组的三个数为（8，9，10），第9组的三个数为（9，10，11），10第一次出现在第8组．再看第二个问题，第8组三个数之和为27．
5、观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，该数列中所有数的总和是_________．
【答案】
10；220
【解析】
（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有项，所以奇数项也有10项，所以共有10个1；（2）奇数项之和是10，偶数项之和是，所有数之和是220．

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