资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式（请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 第一章 函数1.1函数的概念与特性
教学目的 掌握函数定义域的求法；知道函数的几种特性
教学重点 熟练掌握各种函数的定义域、值域；掌握函数的特性
教学难点 函数的有界性
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
教学流程设计复习导入复习中学数学知识，引入新课题二、讲授新内容（一）、函数的有关概念1、函数的定义：例1 我国银行2015年3月1日开始实施的整存整取的基准利率见表1-1表1-1时间3个月6个月1年2年3年5年年利率2.102.302.503.103.754.00时间和年利率都是变量，并且年利率是依赖于时间这个变量的，当存款的时间确定时，其存款的年利率就随之确定。定义 设在某一个变化过程中有两个变量x和y，且x的变域为非空集D，如果当x在变域D的每一个值，按照一定的对应法则f，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么，就称y是x的函数，并记作：y=f(x)，x∈D.其中x叫做自变量，y叫做因变量或函数.自变量x的变域D叫做函数的定义域，可记作D(f)。和x的值对应的y值叫做函数值，而函数值的集合（变域）叫做函数的值域，一般记作M(f)，即：M(f)={ f(x) | x ∈ D}.例2：求解：（略）例3：已知函数，解：课堂练习：1、求下列函数的定义域.（1）； （2）.解 （1）当且仅当且时，才有意义，即，所以函数的定义域是.（2）当且仅当且时，才有意义，即且，所以函数的定义域是.2、 已知，求,,. 解；；2、分段函数表示函数的方法通常有公式法（解析法）、列表法和图像法三种． 用公式表示函数时，一般用一个式子表示一个函数，但有时需要用几个式子分段表示一个函数，即对于自变量不同的取值范围，函数采用不同的表达方式，这种函数叫做分段函数. 例如 都是分段函数。 对于分段函数，要注意以下几点：(1)分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数．(2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集．例4：境内跨县区普通函件的收费标准如表1-2所示表1-220g及20g以下1.20元60g以上至80g4.80元20g以上至40g2.40元80g以上至100g6.00元40g以上至60g3.60元试求邮资与信函质量的函数关系式、函数的定义域、并画出其图像，同时求当信函分别是38g与88g时，应付多少邮资？解：（略）。3、显函数和隐函数 有些函数的因变量y可以用含自变量x的一个明显的表达式表达，例如， 等等，这样的函数称为显函数。由函数y=2x+1可得方程2x-y+1=0，由函数 可得方程， 所以方程也可以确定函数的关系。用二元方程F(x,y)=0的形式确定y是x的函数，称这种函数为隐函数。例如等等，有的隐函数可以化为显函数，如中可解出；但有些隐函数化为显函数是困难的，甚至是不可能的。（二）、函数的几个特性1、函数的单调性定义1.2 设函数y=f(x)定义在区间(a,b)内，如果对于(a,b)内的任意两点都有成立，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加（单调减少）。函数在区间(a,b)内单调增加（单调减少）的性质，称为函数的单调性。而称区间(a,b)为单调增加（单调减少）区间。2、函数的奇偶性定义1.3 设函数y=f(x)的定义域D(f)是关于原点O对称的数集，如果对于任意的都有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数；如果对任意的都有f(-x)=f(x) 成立，则称为f(x)偶函数。由上述的定义可知，奇函数的图像是关于原点对称的，而偶函数的图像关于y轴对称。函数定义域D(f)关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。例如，是偶函数，但在[-3,5]内就是非奇非偶。一般的，判断函数的奇偶性，可先求它的定义域D(f).例5 判断下列函数的奇偶性：解：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数。3、函数的周期性定义1.4 对于函数y=f(x)，如果存在一个常数T(T 0),使得对于其定义域内的所有x，都有f(x+T)=f(x)成立，那么称函数y=f(x) 是周期函数，而称T为这个函数的周期。周期函数f(x)的周期不是唯一的，如果在所有的周期中，存在一个最小的正周期T,则称T为周期函数的最小正周期。通常，我们把函数的最小正周期简称为周期。例如，函数y=sinx和y=cosx都是以为周期的周期函数；函数y=tanx和y=cotx都是以为周期的周期函数；而 和是以为周期的周期函数。周期函数f(x)不一定存在最小正周期，如常数函数f(x)=c(c为常数)，任何正常数都是它的周期，而正常数中没有最小的正数，所以它不存在最小正周期。4、函数的有界性定义1.5 对于定义在（a,b）内的函数y=f(x),如果存在一个正数M，使得对于(a,b)内的所有x，都有|f(x)|M成立，则称y=f(x)在(a,b)内是有界的。如果这种M不存在，则称y=f(x)在(a,b)内是无界的。例如函数在区间内，对于任意的x，恒有，所以，函数在内是有界的，而函数在（0,2）内是无界的，因为不存在这样的正数M，使得对于(0,2)内的所有x都成立；而同样的函数在（1,2）内是有界的，因为存在这样的正数M（例如M=1），使得对于(1,2)内的所有x都成立。 三、小结本次课主要讲述了函数的定义及函数的有关性质，它的一些基本性质是什么？ 明确一个函数、二个要素、三种表示法、四个几何特性。四、布置作业P21:1，2，3.4，5 设置问题情境，引入如何用数学式子表示量与量之间的关系，为给出变量之间的函数关系做准备。 函数定义中的两个要素：定义域、值域，用于判断两个函数是否相同。利用函数定义判断给出新函数表示形式——分段函数。通过例子加深理解分段函数概念。引入函数的四个几何特性总结课堂内容，加深所学知识通过完成作业，巩固所学内容。

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