资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式（请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 第一章 函数1.2几种常用的函数及其图像1.3反函数1.4复合函数与初等函数
教学目的 掌握常用的函数及其图像；知道反函数的概念，会求一个函数的反函数；深刻理解复合函数的概念，懂得复合函数的复合过程。
教学重点 熟练掌握几种函数及其图像性质
教学难点 复合函数的分解
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
教学流程设计复习导入复习中学几种常用函数引入新课题二、讲授新内容（一）、几种常用的函数及其图像幂函数：（为常数）．指数函数：(，且，a为常数) ．对数函数：(，且，a为常数) ．三角函数：，，，，，幂函数： 指数函数 对数函数 常用对数函数，以10为底自然对数函数，以无理数e为底1、幂函数（二）、反函数求反函数的步骤是从中解出x，得到，再将x和y互换即可．例如求的反函数．解 由得，互换字母x，y得所求反函数为．函数对应关系必须一一对应（三）、复合函数与初等函数一、基本初等函数与函数的四则运算（1）、基本初等函数：下列6类函数统称为基本初等函数：常数函数：（c为常数）．幂函数：（为常数）．指数函数：(，且，a为常数) ，特别当a=e时，．对数函数：(，且，a为常数) ，特别当a=e时，函数为自然对数函数．三角函数：，，，，，反三角函数：，，， 基本初等函数是人们长期从生产实践和科学实验中总结出的最基本、最常用、最重要的一些函数，所以我们要牢记它们的图像与性质。2、函数的四则运算若函数f(x)与g(x)的定义域分别是D(f)和D(g)，且D(f)∩D(g)≠ ，则f(x)与g(x)的和函数F1(x)定义为对任意数x∈D(f)∩D(g)有 F1(x)=f(x)+g(x).同理，函数f(x)与函数g(x)的差函数，积函数，商函数分别是： F2(x)=f(x)-g(x),x∈D(f)∩D(g); F3(x)=f(x)·g(x),x∈D(f)∩D(g); F4(x)=，x∈D(f)∩D(g)且x ﹛x|g(x)=0﹜.如在1.2节中所提到多项式函数就是由幂函数x,x2,…xn和常数a0,a1,…,an经过加、乘这两种运算构成的.二、复合函数在研究函数的时候，常会遇到有两个以上的函数合成的函数。例如，某商店经营一种商品，若不考虑其他因素，那么利润L是经营额q的函数，而营业额q又是价格P的函数。因此对于在确定范围内的每一个价格P，经过q都是唯一确定的L与之对应，这样，也可以把L看成P的函数。定义 1.7：设y是u的函数，即y=f(u)，而u又是x的函数，即u=g(x)，若，则称函数y=f[g(x)]为x的复合函数，x叫做自变量，u叫做中间变量。例如，y=u3+1,u=cosx[D(f)=R,M(g)=[-1,1]],则y=cos3x+1就是x的复合函数；又如y=eu,u=x2-1[D(f)=R,M(g)=[-1,+∞)],则y=ex2-1就是x的复合函数。注意：不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的，因为它必须满足定义域中的y=f(u)的定义域D（f）与u=g(x)的值域M（g）的交集是非空集[D(f)∩M(g)≠ ]这个条件，才能复合成复合函数，例如，由y=arcsinu,u=x2+2就不能复合成一个复合函数，因为y=arcsinx的定义域D（f）=[-1,1],而函数u=x2+2的值域M（g）=[2,+∞),D(f)∩M(g)= .复合函数的中间变量可以不止一个，例如y=sinu,u=，V=lnα,α=2x-1,则复合函数y=sin就是u，υ，α这3个中间变量。同时，还必须注意，“复合函数”这个名称仅仅表示函数的一种表达式，而不是一类新的函数，尽管它可以构成大量的复杂的函数，但对于我们来说，更重要的是要把一个复合函数“分解”成几个简单的函数（如基本初等函数及多项式函数等）。例 1 下列函数是由哪些简单复合而成的？y=2sinx; (2)y=ln(1-x2); (3)y=sin(cosx2).解（1）函数y=2sinx是由基本初等函数y=2u，u=sinx复合而成的。 （2）函数y=ln(1-x2)是由基本初等函数y=lnu及简单函数u=1-x2复合而成。 （3）函数y=sin(cosx2)是由基本函数y=sinu,u=cosυ,υ=x2复合而成。例2 下列函数能否构成复合函数？若能构成复合函数，则写出y=f[g(x)]，并求其定义域：(1) (2)y=arccosu,u=2x-1.解 （1）因为函数y=的定义域D(f)=(－∞,o],而函数u=x2+1的值域M（g）=[1,＋∞).所以D（f）∩M(g)= ,故y=,u=x2不能复合成一个函数。因为函数y=arccosu的定义域D（f）=[-1,1],而函数u=2x－1的值域M（g）=(－∞,＋∞),故D（f）∩M(g)=[-1,1]≠ . 所以y=arccosu，u=2x-1可以复合成函数y=arccos（2x－1）. 要使函数y=arccos（2x－1）有意义，只要|2x－1|≤1,即－1≤2x-1≤1,解不等式组，得0≤x≤1,因而复合函数y=arccos（2x－1）的定义域是[0,1].课堂练习：指出下列复合函数的复合过程．（1） （2）解 （1）是由，，和复合而成．（2）是由，，，复合而成，其中是简单函数．三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或者有限次的函数复合所构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。例如,y=ln(2x+)，y=+cosx等都是初等函数。而,及函数就不是初等函数了，因为前者不是“有限次四则运算”，而后者不满足“可用一个式子表示”的条件。但不是所有的分段函数都不是初等函数，如是分段函数，但它可以看成是由函数y=，u=x2复合而成的一个复合函数，即y==|x|,因此它是初等函数，不能用一个解析表示的分段函数不是初等函数。(四)、小结本次课主要讲解常见的函数以及复合函数。特别是指数函数与对数函数在经济生活中应用非常广泛，如我们需求函数等，对这四函数重点掌握。对常见的基本初等函数也要掌握，特别是复合函数的分解过程要熟练掌握应用。（五）、布置作业P21:16，17,18,19 画出具体函数图像从具体到抽象，降低学习难度，使学生很自然地学习了新的知识，达到了突破难点的目的。引导学生得出几种常用函数的图像性质。难点是求反函数例子引导学生得出复合函数的概念。复合函数的概念通过例子加深理解复合函数注意：复合函数定义域有要求

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