资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式（请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §2.1 极限的概念
教学目的 理解函数极限的思想，会通过观察图像判别数列或者函数在自变量指定的变化方向上的变化极限；
教学重点 极限的概念
教学难点 左右极限的概念
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、知识回顾复习数列知识二、情境引入引例 ： 一对年轻的夫妻，在孩子出生之时，用1万元作为初始投资。如果投资按10%的连续复利计算，到孩子20岁生日时，估计能拿到多少元的成长金？若继续做投资，到孩子28岁生日时，能拿到多少元的婚嫁金？（一）、数列的极限极限的概念来源于实践，我国古代早就有极限概念的萌芽，“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”这句话的意思是：一尺长的一根木棒，第一天截取它的一半，剩下尺，第二天取剩下的一半，还剩尺，第三天取剩下的一半，还剩尺，…….，第n天还剩尺，当n无限增大时，无限减小，但并不是0，却与0无限接近。剩下的木棒长度按天数的顺序就构成数列｛｝：定义2.1: 对于无穷数列｛｝，如果当n无限增大时，无限趋近于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列｛｝以A为极限，记作或 数列｛｝以常数A为极限，亦称数列收敛于A；如果数列｛｝没有极限，就称数列｛｝是发散的。例如，上面数列就收敛于0，即 =0，而数列=就是发散的。 从极限的定义可知： （1）收敛数列的极限是唯一的。 （2）收敛数列一定是有界数列。（二）、函数的极限1)x→∞时，函数 y=f(x)的极限 考察函数f(x)=, 当自变量X取正值且无限增大时(记作x→+∞)，函数f(x)= 无限趋近于常数0，此时称0为f(x)=，当x→+∞时的极限。 同样，当自变量X取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞)时，函数f(x)=也无限趋近于常数0，此时，称0为f(x)=，当x→-∞时的极限。定义2.2：对于函数y=f(x)，如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则常数A称为函数f(x)当x→∞时的极限，记作：或注：“x的绝对值无限增大”可记为“|x|→+∞”或“x→∞”因此，“x →∞”应包括“x→+∞”或“x→-∞”两种情况。2) x→ 时，函数 y=f(x)的极限观察x→1时，函数f(x)=x+1的变化趋势，(见教材P26图2.3所示)，无论x从大于1的一侧趋近于1，还是从小于1的一侧趋近于1，函数f(x)=x+1的值无限趋近于2，这时，我们说函数f(x)=x+1当x→1时以常数2为极限。定义2.3：对于函数y=f(x)，如果当自变量x无限趋近于定值，即x→（x可以不等于）时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则常数A称为函数f(x)当x→时的极限，记作 说明:如果当x从的左侧无限趋近于（通常记作x→）时，函数f(x)以A为极限，则称A为函数f(x)当x→ 时的左极限，记作如果当x从的右侧无限趋近于（通常记作x→ ）时，函数f(x)以A为极限，则称A为函数f(x)当x→ 时的右极限，记作 左极限、右极限统称为单侧极限.定理2.1： 成立的充分必要条件是: 这个定理常用来判定函数在一点的极限是否存在。例1：作图并求函数f(x)= 当x→1时的左右极限，并说明是否存在 ？ 解 ：的图象（如教材P27图2-4所示），从图中可以看出，当x<1且无限趋近于1时，函数的值无限地趋近于常数1，即函数的左极限存在，且有==1 ；当x>1且无限趋近于1时，函数的值无限地趋近于常数2，即函数的右极限存在，且有==2。由于在x→1的左、右极限不相等，所以，当X → 1时，函数的极限不存在。例2：求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，的极限是否存在．（1） ，　　（2）解　（1）作出函数图象，如下图， ,　　　，因，所以.（2）作出函数图象，如下图，， ，因，所以不存在.二、课堂练习：求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，的极限是否存在．（1） （2）三、小结：理解极限的思想，会通过函数图像求函数的极限；在讨论函数极限时，一定离不开自变量的变化趋势；是否存在和在点处有无定义无关；极限是一种函数的变化趋势，是动态变化过程中考查出来的，而不是一个点一个点的函数值算出来的。四、作业：P38:1（1）（2）（3） 通过实际生活中的案例，引起学生学习的兴趣。设置问题情境，引入极限的思想。从具体到抽象，从特殊实例归纳函数极限的定义，降低学习难度，使学生很自然地学习了新的知识，达到了突破难点的目的。把数列极限概念推广时的函数极限。给出时函数极限的定义。进一步推广时的函数极限。导出时函数的极限定义。在时函数极限定义下，说明单侧极限概念。通过学与做的课堂活动，引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系。通过完成作业，巩固所学内容。

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