资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §2.5 函数的连续性
教学目的 （1）理解函数连续性的概念，能结合图像判断函数的连续性； （2）会利用初等函数的连续性求函数的极限； （3）了解闭区间上连续函数的性质。
教学重点 连续性的概念
教学难点 分段函数分段点的连续性判断。
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、知识回顾 函数极限概念，特别是 时的极限 二、引入 自然界有许多现象如空气和水的流动，气温的变化，动植物的生长等，是连续不断的过程，这种变化反映在数学上，就是函数的连续性.本节主要学习连续函数的概念和性质. （一）、函数连续性的定义 1、函数的增量 设函数y=f(x)在点及其附近有定义，给自变量一个增量△x，当自变量x由变到+△x时，函数y相应由f()变到f(+△x)，因此，函数相应的增量为： △y= f(+△x)- f() 2、函数连续的定义 函数y=f(x)在点处连续，从几何直观上来说它的图像在处是连续不断的，也就是说，当自变量在点的附近变化极其微小时，相应的函数值的变化也极其微小. 下面给出函数在一点连续的定义. 定义2 .7 设函数y=f(x)在点及其附近有定义，如果自变量增量△x=x-趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ，则称函数f(x)在点处连续. 由于△y也可写成△y=f(x)-f()，所以上述定义2.7中的表达式也可写为 ，即 ，于是有下面定义 定义2 .8设函数y=f(x)在点及其附近有定义，若 ，则称函数f(x)在点处连续. 由定义2.8可以看出，函数f(x)在点连续，必须同时满足以下三个条件： （1）函数在点处及其附近有定义； （2）存在，即； （3）． 如果上述三个条件中有一个不成立，则函数f(x)在点处不连续，这时，称点为函数f(x)的间断点.其中。凡是左、右极限都存在的间断点叫做第一类间断点，其余的间断点叫做第二类间断点。 例1 设 ，在处连续，求k的值。 例2：求下列函数的间断点： （1） （2） 如果，那么称函数在点左连续；如果，那么称函数在点右连续． 在区间I上的每一个点都连续的函数，叫做在区间I上的连续函数，或者说函数在区间I上连续，区间I叫做函数的连续区间．如果区间包括端点，那么区间I上的连续函数在右端点处左连续，在左端点处右连续． 二、初等函数的连续性 由极限的运算法则和连续函数的定义，可以得到一下关于连续函数的运算法则。 法则2.4 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。 法则2 .5 有限个连续函数的复合函数也是连续函数。 法则2.6 单调增（减）的连续函数的反函数也是单调增（减）的连续函数。 应用连续函数的运算法则可以得到如下结论： 所有基本初等函数在各自定义域内都是连续函数。 由极限运算可知，多项式在（-∞，+∞）内是连续的，有理函数在分母不为零时也是连续函数。 因此，我们得到：一切初等函数在其定义区间内是连续的。 例3：求 例4 三、闭区间上连续函数的性质 为了今后的应用，我们介绍在闭区间上连续函数的三个基本性质，并从几何上加以说明。 性质1（最大、最小值定理） 如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。 性质2（有界性定理） 如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必有界。 性质3（介值定理） 如果函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，m、M分别是f(x)在[a，b]上的最小值和最大值，则对于介于m、M之间的任一实数c（m

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