资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 4.2函数的单调性与极值
教学目的 掌握通过导数方法判断函数的单调性与求函数的极值。
教学重点 判断函数的单调性与求函数的极值。
教学难点 导数符号与函数的单调性的关系；极值存在的充分条件。
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、复习回顾 前期有关极限、导数及函数单调性知识 二、讲授新课 （一）、函数的单调性： (b) 图4-1 从几何直观上分析，如图4-1（a）和图4-1（b）所示，当图中曲线上升时，曲线上每一点的切线与x轴正向的夹角都是锐角，即；反之，当曲线下降时，曲线上每点处的切线与x轴正向的夹角都是钝角，即. 法则4.1 设函数在区间内（a，b）内可导， （1）若在（a，b）内 ，则 在（a，b）单调增加； （2) 若在（a，b）内 ，则 在（a，b）单调减少。 例1 判别函数的单调性 解 因为，故在其定义域（-∞，+∞）内是单调增加的。 例2 求的单调区间。 解 令，解方程得 它们将该函数的定义域（-∞，+∞）分成3个区间 （-∞，-1）、（-1，1）、（1，+∞），下面讨论在这3个区间内的符号及f(x)的单调性： （1）当时， ，故是单调增加； （2）当时， ，故是单调减少； （3）当时， ，故是单调增加； 因此，的单调增区间是（-∞，-1）、（1，+∞），单调减区间是（-1，1）。 从直观上分析我们可以从函数在直角坐标系的图像得出相应的结论，这里介绍用列表方法来分析（表4-1） 表4-1 x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）+0-0+y
表中第一行是函数定义域被导数等于零的点分成的几个子区间；第二行是导数在各个区间的符号；最后一行是函数在各区间的单调性。 （二）、函数的极值 1.极值的定义 从本节例2中我们可以看到，在x=-1和x=1这两点的左右两边的变化来看，它们分别是函数由增转为减和由减转为增的转折点.而且在x=-1处的函数值比它左右邻近各处的函数值都大，在x=1处的函数值比它左右邻近各处的函数值都小，对于具有这种性质的点和它对应的函数值，我们定义如下： 定义4.1 设函数y=f(x)在点及其附近有定义. （1）若对于点邻近除点外的所有点x，都有f(x)f()，则称f()为函数f(x)的极小值，并且称点为极小值点； 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 注：应说明极值为局部概念。 2.极值存在的必要性 法则4.2 若函数在 在点处有极值，且存在，则 使导数为零的点称为函数的驻点. 图4-2 图4-3 极值存在的必要条件说明：可导函数的极值点，必是它的驻点.但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如（图4-2）； 另一方面，导数不存在点也可能是极值点，例如y=|x|，在x=0处不可导（切线不存在），但它是极小值点（图4-3） 综上所述，函数的极值点只能在驻点或导数不存在的点取得，但这些点又不一定就是极值点 3、极值存在的充分条件 法则4.3（第一充分条件） 设函数y=f(x)在点及其附近连续且可导（在点可以不可导）； （1）若当x取左侧邻近的值时，都有，而当x取右侧邻近的值时，都有，则f(x)在点处取极大值； （2）若当x取左侧邻近的值时，都有，而当x取右侧邻近的之时，都有，则f(x)在点处取极小值； （3）若在左右两侧邻近处，不变号，则f(x)在点处没有极值。 例3 求的极值。 解 由例2知，函数有2个驻点为；又由表4-1可得函数的极大值为f(-1)=3，极小值为f(1)=-1。 例4 求函数的极值。 解 ，令，解方程得 当时，不存在。 x=0及x=1将f(x)的定义域（-∞，+∞）分成3个区间，应用第一充分条件列表讨论： x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞） +不存在-0 +极大值0极小值
函数的极大值是，极小值是。 从以上两例可知，求函数极值的一般步骤归纳为： （1）求函数的一阶导数； （2）求出在定义域内所有驻点与不存在的点； （3）判别驻点及不存在的点是否是极值点，若是，求出对应的极值。 法则4.4（第二充分条件） 设函数f(x)在点处有二阶导数，且 若<0，则在点处取得极大值； 若>0，则在点处取得极小值。 例5 求函数的极值。 解： 令 ， 解得驻点为 因为 所以是的极大值点，这时，极大值是 因为，所以是的极小值点，这时，极小值为 三、课堂练习： 求函数的极值。 四、课堂小结： 简单归纳回顾本节授课内容。 五、课后作业：P74：4 在此复习有关极限、导数及函数单调性知识作为引入新课的一个内容 结合图形讲授导数的取值与函数单调性之间的关系引出法则 通过应用举例讲授法则的应用步骤 结合图形直观讲授极值概念，并说明极值点的类型 通过导数取值的变化，引出极值存在的充分条件，并以实例进行讲解 相应的课堂练习巩固所学知识 总结课堂内容，加深所学知识

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