资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 4.3函数的最大值与最小值
教学目的 掌握求函数的最大值与最小值的方法与步骤
教学重点 函数的最大值与最小值的方法与步骤
教学难点 求函数的最大值与最小值的应用
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、复习回顾 有关函数的极值知识 二、引入 用长8m的铝合金材料加工一日字形窗框，问当此窗框的长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？ 三、讲授新课 4.3函数的最大值与最小值： 函数的最大值与最小值是全局性的概念，对于一个在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，它的最大值、最小值只能在（a，b）内的极值点或端点处取得.因此，只要求出函数f(x)在（a，b）内所有的极值和端点函数值，比较它们的大小，就可以求得函数最大值与最小值. 求函数最大值、最小值的方法： （1）求出函数f(x)在（a，b）内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点所对应的函数值； （2）求出端点处的函数值f(a)、f(b) ； （3）比较上述（1）、（2）求出所有函数值，其中，最大的就是f(x)在[a，b]上的最大值，最小的就是f(x)在[a，b]上的最小值. 其中，有两个特例： （1）当连续函数f(x)在[a，b]上严格单调时，则最大值与最小值必在区间端点处取得； （2）如果在开区间（a，b）内，连续函数仅有唯一的极值，则此极值必为最值（最大值和最小值统称为最值）. 例1 求在[0，5]上的最大值与最小值. 解： 令 ， 解得驻点为 这时 比较得：在[0，5]上的最大值与最小值分别为与. 例2 求在[-1,3]上的最大值和最小值。 解； 因为 所以在[-1,3]上是单调增加的，故函数的最大值和最小值必在区间端点处取得，且在右端点处取得最大值，在左端点处取得最小值，即在[-1,3]上的最大值为最小值为 例3 用长8m的铝合金材料加工一日字形窗框，问当此窗框的长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？ 解：设加工成的窗框宽为xm,则长为m， 故窗户面积为 令 ， 解得驻点为 因为，故是极大值点（唯一），则该极大值点就是所要求的最大值点，所以当宽为 m，长2m时，面积最大值为 例4 解答本节案例中所提出的问题，即已知固定成本C(0)=100元，可变成本C1(q)=q+0.01q2，单价p=5元，求q的值使其利润L(q)取最大. 解 收益函数， 成本函数， 利润函数令，得唯一驻点， 又故当销售量是，利润最大。 四、课堂练习： 求函数在上的最大值和最小值. 解 （1）指定的区间为； （2） 令，得驻点为（舍去），； （3），，， 所以，函数在上的最大值为，最小值为. 注：实际应用中，如果函数在某个连续区间内只有唯一的极值点，可以断定，就是函数在该区间上的最大(小)值. 五、课程小结： 1、函数的最值；函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的；求函数最值的步骤. 2、函数的最优化问题.解决这些问题的关键在于正确建立函数关系式（称为目标函数），然后应用极值和最值理论求目标函数的最大（小）值；最后应按问题的要求给出结论. 六、课后作业：P747、8、9、10 在此复习函数的极值知识作为引入新课的一个内容 通过图形分析极值与最值之间的区别与联系 通过应用举例讲授求函数最大值、最小值的方法步骤

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