资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 5.2换元积分法
教学目的 1、掌握换元积分法及其换元基本思路与步骤 2、掌握常用凑微分公式 3、掌握两类换元方法的应用思路及相应步骤。
教学重点 换元积分法及其换元基本思路与步骤；常用凑微分公式；两类换元方法的应用思路。
教学难点 换元积分法及其换元基本思路与步骤
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、复习回顾 导数公式、积分公式及直接积分法 二、引入 对于有些积分，例如 1、 2、用直接积分法难于求解.因此，必须寻求新的解法. 三、讲授新课 换元积分法 对于一些被积函数是复合函数或无理函数的积分，例如，等，利用直接积分法难以求解，下面我们将探索这类积分的求解方法。 对于积分，能否直接利用基本积分公式5求得结果呢？回答是否定的.这是因为，它不等于被积函数. 考虑到y=是复合函数，先换元，即设u=2x，则， 于是 再将u=2x代入上式的最右端， 便得 由于 ，因此，利用这种方法计算得到的结果是正确的. 说明： 在上述方法中，引入中间变量u，将积分变量x换成u，这种积分的方法就是换元积分法.一般地，有不定积分的换元积分公式： 设F(u)是f(u)的原函数，且u=φ(x)可导， 则有 例 1 求 解设u=3x，则 例 2 求 解 设 上述两个例题的解题过程中，可以省略中间变量u，例如，例1中，由于积分变量是“3x”，而dx的变量是“x”，如果将dx写成“”， 即得： 类似地，例2也可写成 这种写法的关键是将“dx”凑成微分“”,因此，这种换元积分法也叫做凑微分法 为了解决“凑微分”这个关键问题，下面给出常用的一些凑微分公式，读者熟记这些公式，对于计算这类积分会有较大帮助. 上述这些公式，都可以通过求各等式右边的微分得到结果. 例 3 求 解 因为 所以 例 4 求 解 因为， 故 类似的，还可以求得 例 5求 解 因为， 所以 例 6 求 解 因为， 所以 例 7 求 解 例 8 求 解 1： 因为 ， 所以 解2 对于无理函数，还可直接换元， 即设 再将代回， 得： 说明 在例8中的解法二中，引入新变量t，将x表示成t的连续函数x=φ(t)，从而使积分得以求解，这种方法也是换元积分法（通常叫做第二类换元法，而凑微分法也叫做第一类换元法）.在使用第二类换元法计算不定积分时，要注意将代回，使其结果换成x的表达式。 例 9 求 解 设 故 例 10 求 解 为了去根号， 设 。 四、课堂练习：选择课后习题练习。 五、课程小结：简单归纳总结本节知识点 六、课后作业：P101、3、（1）（4）（5）（7）（8）（9） 4、5（1）（3）（5）（7）（8） 通过复习导数公式讲授微分逆运算作为引入新课的一个内容 用引例引入新课，增加学生学习兴趣 引导学生掌握简单换元方法 几个常见的凑微分公式要求熟练掌握 讲解时要求学生写出凑微分具体步骤 通过应用举例，引导学生预判所要凑的新变量 简述第二类换元法

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