资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 5.4定积分及其与原函数的关系
教学目的 1、了解定积分的概念及定积分的几何意义 2、掌握定积分及其与原函数的关系
教学重点 定积分的概念及定积分的几何意义；定积分及其与原函数的关系
教学难点 定积分的概念
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
一、复习回顾 原函数概念、积分公式 二、引入 (
图
5
-
1
) 如何计算由曲线和直线、、围成的图形（图5- 1）的面积呢？ 三、讲授新课 定积分及其与原函数的关系： （一）、定积分的概念 例1 计算曲边梯形的面积. 所谓曲边梯形，是指如图5-2（a）所示的图形AabB（图中阴影部分），它有三条边是直线，其中两条边互相平行，第三条边与这两条边垂直，第四条边是曲线。 (b) 图5-2 下面讨论曲边梯形的面积. 设曲边梯形AabB是由连续曲线y=f(x)(设f(x)≥0)、直线x=a、x=b和x轴围成的，由于曲边梯形的高f(x)在区间[a，b]上是连续变化的，所以只要x变化不大，高的变化也不会太大，可以设想，把曲边梯形的底分得很细，过各分点作底的垂线，就相应得到很多小的曲边梯形，这时，每个小曲边梯形的面积可以用同底的相应的小矩形面积来近似地代替，然后把这些近似值加起来，就是曲边梯形AabB面积的近似值.显然把曲边梯形的底分得越细越好，把底分成每个都趋近于零，这时，小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.因此，可按下面步骤计算曲边梯形的面积. （1）分割 将区间[a，b]任意分成n个小区间，设分点为 每个小区间的长度为 (i=1,2,…,n) 过各个分点做垂直于x轴的直线，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，并记它们的面积分别为 , ,…. （2）近似 在每个小区间[]上任取一点，用以为高、 为底的小矩形面积近似代替同底的小曲边梯形的面积，即 ≈ (i=1,2,…,n) （3）求和 将n个小矩形的面积相加，就得到曲边梯形AabB面积A的一个近似值，即 （4）取极限 为了求得曲边梯形面积A，只要小区间的长度的最大值趋于零，如果记 λ=max{ }(i=1,2,…,n)则当λ→0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形的面积A，即 例2 计算总产量的变化率变化时的总产量。 当产量对时间的变化率保持不变时，总产量等于它的变化率乘以时间，现设总产量的变化率g是时间t的函数g=g(t)，在生产连续进行时，时间从到这段时间间隔[， ]内的总产量为 1.定积分的定义 上面两个例子，尽管实际意义不同，但是解决的方法是完全一样的，都归结为求“和式的极限”.因此，有必要从抽象的形式来讨论它. 定义5.3 设函数f(x)在[a，b]上有界，用分点把区间[a，b]分成n个小区间：[] (i=1,2,…,n)，其长度为 ，在每个小区间[]上任取一点，作乘积， （i=1,2,…,n） 并求和 记λ=max{ }(i=1,2,…,n)，如果当λ→0时，和的极限存在，且此极限与区间[a，b]的分法以及的取法无关，则称函数f(x)在区间[a，b]上是可积的，并称此极限值为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即 其中，f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a，b]称为积分区间，a和b分别称为积分的上限和下限，f(x)dx称为被积表达式. 说明 （1）定积分是一个和式的极限值，其结果是一个定值，它只和被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的取法无关，即 （2）在定义5.3中，我们假设ab的情况作如下补充定义： （3）根据定义5.3，前面例1和例2可以说成是曲边梯形的面积A是曲线y=f(x)(f(x)≥0)在区间[a，b]上的定积分， 即 产品的总产量Q是它的变化率g=g(t)在时间区间[， ]上的定积分， 即 2.定积分的几何意义 从定积分的定义知道，如果在[a，b]上f(x)≥0，则定积分表示由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形的面积 [图5-3（a）]，即 (a) (b) 图5-3 如果在[a，b]上f(x)<0，因为和式的各项都小于零，所以，这时，它等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形的面积的相反数，即 如果函数f(x)在[a，b]上有正有负，那么，定积分等于曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、y=0所围成各部分图形面积的代数和（位于x轴上方取正，位于x轴下方取负）. 例3 用定积分表示图5-4中各个阴影部分的面积. (
y=x
2
2
2
4
x
y
O
（
1
）
) (
x
y
（
2
）
-1
1
O
e
-1
) 解 根据定积分的几何意义，得 （1） （2） 例4 利用定积分的几何意义，求下列定积分的值： ， （2），及 解 （略） 说明 （1） （2）定积分的对称性：如果f(x)在对称区间上连续，则 当f(x)是奇函数时，；当f(x)是偶函数时，； （3）如果积分区间被C分成与两个区间， 则 该性质称作定积分的可加性。(注：C点可在区间之外) 应用举例： 例 5 （） 例6 下列定积分中，其值为零的是（ ）. （C） （二）、定积分与原函数（不定积分）的关系 1.变上限函数 设f(x)在[a，b]上连续，称下限为常数a、上限为变量x（a≤x ≤ b）的函数为变上限函数. 变上限函数P(x)有如下性质： 定理5.1 如果函数f(x)在[a，b]上连续， 则变上限函数 在[a，b]上可导，且有成立. 显然是在[a，b]上连续的函数f(x)的原函数。 例7 求 解 = 例8求 解 = 定理5.2 若函数f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积. 2.牛顿-莱布尼兹公式 定理5.3 设函数f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数， 则 说明 （1） 上式右式表示f(x)的一个原函数F(x)在[a，b]两个端点的增量。 （2）“F(b)-F(a)”可记作或 （3）要注意“函数f(x)在[a，b]上连续”这个条件 例9 求下列各定积分 解 （1）因为， 得 （2） 因为 所以 四、课堂练习：选择课后习题练习。 五、课程小结：简单归纳总结本节知识点 六、课后作业：P103、11、12、（1）---（6） 用引例引入新课，增加学生学习兴趣 引导学生理解微元法的数学思想 通过应用举例，引出定积分概念 要求学生熟练定积分的可加性及利用函数的对称性求积分 简述变上限函数， 引出定积分与原函数（不定积分）的关系，推导出 牛顿-莱布尼兹公式 相应的课堂练习巩固所学知识

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