资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §7.1二元函数的概念
教学目的 （1）了解二元函数及其极限与连续的概念； （2）会求二元函数的定义域； （3）了解简单的二元函数的极限。
教学重点 （1）二元函数的概念及几何意义； （2）二元函数的定义域及其求法。
教学难点 二元函数及其极限与连续的概念。
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
复习 在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数，记作．其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫这个函数的定义域． 新授 一、二元函数 1.二元函数的定义
定义7.1 设某变化过程中有变量x、y和z，且变量对（x，y）的变域为非空集D，当变量（x，y）在变域D内任意取定一对值时，变量z按照一定的法则f，总有唯一确定值与之对应，则称z是x，y的二元函数，记做
z=f（x，y） （x，y）D。
其中x、y称为自变量，z称为因变量，对应法则f称为函数关系，变量对（x，y）的变域D称为二元函数的定义域，而与（x，y）对应的z值叫做函数值，函数值的集合称为二元函数的值域。
由定义7.1可知，定义域D和函数关系f是构成二元函数的两要素。 2.二元函数的定义域
二元函数的定义域是使函数有意义的数对全体构成的集合。而数对与坐标平面XOY上的点一一对应，因此，二元函数z=f（x，y）的定义域是坐标平面XOY上点的集合，它一般以平面XOY的区域形式出现，所谓区域是整个平面XOY或由平面XOY上几条曲线所围成的部分，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界的区域称为闭区域，都不包括边界的区域称为开区域，只包括部分边界的区域称为半开半闭区域，闭区域内任意两点间距离的最大者，称为该闭区域的直径，闭区域的直径也往往视为相应开区域和半开半闭区域的直径。 例1、求二元函数的定义域 它是平面XOY上，圆心在原点，内、外半径分别为r、R的圆环，且包括内圆周，不包括外圆周的半开半闭区域。 例2 求二元函数z=ln（x+y-1）的定义域
解 因为自变量大于零时，对数函数才有意义，即必须x+y—1>0，所以该函数的定义域为
{（x，y）|x+y>1}.
它表示平面XOY上，在直线X+Y=1的上方，且不包括该直线的无界区域，如图7—2所示 (
1
1
x+y=1
) 3、二元函数的图像
设二元函数z=f（x，y），移项后的三元方程z—f（x，y）=0，由空间解析几何中曲面及其方程知，二元函数z=f（x，y）的图像就是空间曲面. 例如 图像(如图7-3)是一个旋转抛物面。 (
图
7-3
) 二、二元函数的极限和连续性 1、二元函数极限的定义 定义7、2 设二元函数Z=f(x,y)在附近有定义(点可以除外)，如果存在一个常数A，当点M(x,y)(异于点)沿任意路径无限趋近于点时，相应的f(x,y)无限趋近于一个确定常数A，则称当(x,y)->时，函数f(x,y)以A为极限，记作 尽管一元函数的极限和二元函数的极限在本质上是一致的，但是，数轴上的点X只沿该数轴（从左、右两个方向）趋于而平面XoY上的点（x，y）趋于时，路径却有无穷多条，这就使得二元函数的极限要比一元函数极限复杂得多。 2、二元函数连续的定义 定义7、3 设二元函数Z=f(x,y)在点及其附近有定义，且有 成立，则称二元函数Z=f(x,y)在点处连续。否则称为不连续，不连续的点称为间断点。如果二元函数z=f（x，y）在区域D内每一点都连续，则称为二元函数z=f（x，y）在区域D内连续 3.二元连续函数的性质 (1)二元函数在其定区域内连续，即若区域包含于二元函数的定义域内，则二元函数在该区域内连续； (2)二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数； (3)有界闭区域上的二元连续函数可以取到最大值和最小值； (4)有界闭区域上的二元连续函数可以取到最大值和最小值之间的任意值。
例3 求 解：Z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0} 课堂练习1 求二元函数的定义域． 解　要使函数有意义，需．因此，得到函数的定义域为， 用图形表示为直线上方的半平面（图7－4）． 图7－4 2 求二元函数的定义域． 解 要使函数有意义需 ，即，由于自变量y没有任何约束条件，即．故二元函数的定义域为 ． 用图形表示为直线之间的区域（图7－5）． (
图
7
－
5
) 3 设，求、． 解 ， ． 4作出二元函数的图像，当平面的点点沿着不 同的路径无限趋近于原点时，观察二元函数值变化趋势，发 现是无限趋近于0（图7－6）． 图7－6 5 计算极限． 解 二元函数是初等函数，所以 ． 练习 1.设，求，． 2.已知，求． 3.求下列函数的的定义域 （1）； （2）． 4.计算下列极限 (1) ； (2) ． 小结 二元函数及其极限与连续等概念。通过对比一元函数相应的概念，学习二元函数及其极限与连续等概念，加深对其内涵的理解。 作业 P135、1 复习旧知引入新课，增加学生学习兴趣 二元函数是在一元函数的基础上建立的概念 理解二元函数的定义域概念 通过例子掌握概念 巩固练习，加深理解 总结课堂内容，加深所学知识

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