资源简介

教 案
授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节
课 次 1 学时数 2
授课形式 （请打√） 纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目 §7.2.2全微分及其在近似计算中的应用
教学目的 学习二元函数全微分的概念及计算。
教学重点 二元函数全微分的概念及计算。
教学难点 二元函数全微分的概念。
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等 PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法 图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程 设计意图
引入： 设有一块矩形的金属薄板，长为，宽为．金属薄板受热膨胀，长增加，宽增加，计算金属薄板的面积增加了多少． 记金属薄板的面积为，则 ． 由于金属薄板的长、宽分别增加和，故面积的增加量为 (
图
6
－
8
)． 观察图6－8并分析的表达式，第一部分是、的线性函数，其系数分别是对、的偏导数，即 ， 第二部分是或的高阶无穷小，也是其对角线的高阶无穷小．因此可以表示为 （当，时）． 因此，金属薄板面积的增量可以表示为 上式右边第一部分称为的线性主部，第二部分是的高阶无穷小，用线性主部去代替时，计算比较简单，而且产生的误差是关于的高阶无穷小． 1、全微分的概念 定义7.6 设二元函数在点（）及其附近有定义，分别给x,y增量、，得到函数的全增量，记为．即 ． 如果其中，而 时的高阶无穷小，则称二元函数在（）处是可微的，并将 称为二元函数在（）处的全微分。 如果二元函数在平面区域内每一点都可微，则称二元函数在区域内可微． 可以证明，在点（）及其附近有连续的偏导数 和 时，二元函数在点（）处是可微的，且有 通常记作 例5设，求函数的全微分dz. 解（略） 例6 求函数的全微分． 解 因为 ，， 于是全微分为 ． 例7 求函数当，时，在点处的全增量和全微分． 解 全增量 ． 因为 ，， 所以 ，， 在点处的全微分 ． 练习 1.已知函数，求 （1）函数微分； （2）在点的微分； （3）在点，当时的微分 2.求下列函数的全微分 （1）； （2）； （3）． 3. 一圆柱形的无盖铜质容器，壁的厚度为，底的厚度均为，内高为，内半径为，求容器质量的近似值（铜的密度）． 小结 学习掌握二元函数全微分的概念及计算。 作业P136.6.7 教师讲授与提问相 结合，增加学生学习兴趣 理解二元函数的全微分概念 通过例子掌握概念 在教师引领下共同 完成 巩固练习，加深理解 总结课堂内容，加深所学知识

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